课时验收评价(24) “函数与导数”压轴考法的两大难点问题(习题课）（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/4 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅，正版资源 b.ZxxK.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（二十四） “函数与导数”压轴考法的两大难点 问题（习题课） 1.已知函数f)=are(a∈R),g()=nx十x十L.若f)≥g()恒成立，求实数a的取值 范围。 解：fx)≥gx)恒成立，即axe≥nx十x十1恒成立. 因为x>0,所以a≥lnx十x+十1xex 令h(r)=lnx+x+1xex, 则h'()=x十1 -In x-x x2ex. 令px)=-lnx-x,则p'()=-1x-1<0, 故p()在0，+∞)上单调递减， 又p\a\vs4\al\col(f(1e))=1-1e>0,p1)=-1<0, 枚存在∈\a\vs4\al\co1(f(1e),1),使得p()=-lnxw一=0， 故lnxo十o=0,即xo=e一- 当x∈(0，)时，p)>0,h'(>0: 当x∈(，+四)时，p)<0,h'()<0. 所以h(x)在(0，xo)上单调递增，在(，十o∞)上单调递减 所以h(x)mn=h()=lnx0+x0+1x0ex0=1. 故实数a的取值范围是[1，十©). 2.已知函数f)=n(2x十1)十2ax-4ae+4,且a>0. (1)当a=1时，求函数fx)的最大值： (2)讨论函数)的零点个数 解：(1)由题意知，fx)的定义域为\a\vs4\a1\col(一1f(12),+o), 当a=1时，(w)=22x+1+2-4e, 易得y=22x+1和y=一4e+2都是减函数， 所以f()为减函数， 结合f'(0)=0可得，当x∈\a\vs4\al\col(-\f(12),0)时，f'(c)>0,x)单调递增， 当x∈(0，+四)时，f'(<0,x)单渊递减， 所以fx)≤f0)=0.即当a=1时，fx)的最大值为0，. (2)(1)得当a=1时，函数fx)只有一个零点 由f'(x)=22x+1+2a-4aex,且a>0, 得函数)为减函数，设'()=0， 即22x0+1+2a-4aex=0, ◆独家授权侵权必究 2/4 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 ■.ZXXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 函数fx)的最大值为fo) ①当0<a<1时，f)≥f0=4-4>0, 且x→-12时，fx)→-∞， x→十∞时，f)→一o, 所以函数)在的两侧各有一个零点. ②当a>1时，f'(0)=2-2a<0, 所以可得x∈\a\vs4\al\col(-\f(12),0). 利用22x0+1十2a一4aex=0代入到原函数中可得， fxo)=In(2xo+1)+2axo-4aexo+4 =ln(2x+1)+2ax-22x0+1-2a+4, 设gx)=ln(2+1)+2a-22x0+1-2a十4， ∈\a\vs4\al\col(-\f(12),0). 容易判定g(x)是关于x的增函数， 所以g(x)g(0)=2-2a<0, 所以函数fx)的最大值为f)<0,即当a>1时，函数fx)无零点. 综上，当0<a<1时，函数x)有两个零点：当a=1时，函数)有一个零点；当a心1时， 函数x)无零点. 3.设函数fx)=一a2lnx十x2-ax(a∈R). ()当a≥0时，讨论函数x)的单调性； (2)设p(x)=一x2+(a一2)x十(a2十alnx,记h()=jx)十(x,当a>2e时，若方程h() =m(m∈)有两个不相等的实根1，x2,求证：十>a. 解：(1)fx)=-a4nx十x2-ax(a∈)f的定义域为0，+o), f(x)=-a2x+2x-a=2x2-ax-a2x=2-\rc2))x. 令f(c)=0,得x=a或x=-a2, ①当>-a2时，即a>0时，当x∈(0，a)时，f'r)<0,f)单调递减，当x∈(a,+o) 时，(x>0,)单调递增： ②当a=一a2时，即a=0时，f'(x>0恒成立，故fx)在(0，十o∞)上单调递增： 综上所述，当a>0时，x)的减区间为0，a),增区间为(a,+o):当a=0时，fx)只 有增区间0，十∞). (2)证明：由题可知，h(x)=fx)十px)=alnx一2x(>0), 设x1,x2是方程h(x)=m的两个不等实根，不妨设为0<：2， 则alnx1一2x1=m,alnx2一2x2=m,)两式相减整理得到a(ln:1-lnx)=2x1一22， 从而得到a=2x1一2x21nx1-lnx2, ·独家授权侵权必究 3/4 色学科网书城▣ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m 您身边的互联网+教辅专家 要证x1十x2>a,故只需要证明x1十x>2x1-2x21nx1一1nx2, 由于n:一lnx2<0,转化为十n一ln)2x一2， In