课时验收评价(23) 利用导数研究函数的零点问题（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/2 色学科网书城■ 品牌书店，知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时验收评价（二十三) 利用导数研究函数的零点问题 1.(2023·安庆一中高三阶段练习)己知函数fx)=k十x2k∈). ()若)的图象在点n2,n2》处的切线斜率为ln32,求k的值： (2)当k<0时，判断x)在（一∞，）内有几个零点，并证明. 解：()由题知，'(e)=ker+2x,则f'(n2)=ke2+2ln2=ln32,即2k+ln4=ln32, 解得k=12n38=12n3-3ln2). (2)当k0时，x)在(-o,0)内有1个零点，证明如下：令f)=0,即ke十x2=0,则 k=一x2ex,设g)=-x2er0),则g'c)=-2x一x2ex,因为当x<0时，e0,一(2x一x) >0,所以当x<0时，g'(x>0,即g)在（一∞，0）上单调递增，因为g0)=0,当x<0时， 一x2ex<0,所以g(x)∈（一o,0),所以当k<0时，y=k与y=g()在（一四，0）内有一个交点， 即当k0时，x)在（一∞，0）内有1个零点. 2.已知函数fx)=x3十x2十ax十b. (1)当a=一1时，求函数fx)的单渊递增区间： (2)若函数)的图象与直线y=ax恰有两个不同的交点，求实数b的值. 解：(1)当a=一1时，f)=x3+x2-x+b,则f”()=3x2+2x-1,由'(e)>0,得x <-1或°13，所以函数fx)的单调递增区间为(-∞，一1)和\a\vs4\a1\co1(f(13),十∞). (2)函数fx)的图象与直线y=ar恰有两个不同的交点，等价于fx)一ar=0有两个不等的 实根.令gx)=fx)-ax=x3+x2+b,则g'(x)=3x2+2x.由g'(x)>0,得x<-23或x>0: 由g'(x0,得-23<x<0. 所以函数g()在\a\vs4al\col(-∞，-1f(23)和(0，+∞)上单羽递增，在\ a\vs4\al\col(-\f(23),0)上单调递减. 所以当x=-23时，函数g()取得极大值g\a1vs4\al\co1(-\f(23))=427+b:当x =0时，函数gc)取得极小值为g0=b,要满足题意，则需g\a\vs4\al\col(-\f(23))=427 十b=0或g0)=b=0,所以b=一427或b=0 3.设函数fx)=x22-k2nx,20. (1)求x)的单调区间和极值： (2)证明：若)存在零点，则f)在区间(1，e上仅有一个零点. 解：(1)f()=x一k2x=x2-k2x(>0,k>0), 令f'()=0,得x=k(舍负)， '(e),)的变化情况如下： (0,) (k,十0) '(x) 0 十 独家授权侵权必究 2/2 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXk.com○】 您身边的互联网+教辅专家 fx) 极小值 综上，)的单调递减区间是(0，)，单羽递增区间是（化，十四），)极小值为)=k2 1-2lnk2,无极大值. (2)证明：()知，f)在区间(0，+©)上的最小值为=k21一2lnk2 因为fx)存在零点，所以f附=k21一21nk2≤0，从而k≥e. 当k=e时，fx)在区间(L,e)上单羽递减，且e)=0, 所以x=e是f)在区间(1，e上的唯一零点， 当>e时，fx)在区间(0，e)上单调递减，且f1)=12>0,fe)=e-k22<0, 所以fx)在区间(1，©上仅有一个零点. 综上可知，若fx)存在零点，则fx)在区间(1，e上仅有一个零点， 4.(2023哈尔滨三中模拟)已知函数fx)=12x2-(a+1)x+alnx十12a2(a>0). (1)讨论f)的单调性： (2)若函数y=)只有一个零点，求实数a的取值范围. 解：(I)f'()=x-1x-ax 当0<a<1时，由f'(>00<a或x心1，所以fx)在(0，)，(1，十∞)上单调递增， 由f'(x)<0→a<x<1,所以f)在(a,l)上单调递减： 当a>1时，由f'(x>0→0<x<1或a,所以fx)在(0，)，(a,十∞)上单调递增，由f' (<01<x<a,所以fx)在(1，a)上单调递减： 当a=1时，f”(m)=x一12x≥0→fx)在(0，+∞)上单调递增. (2)1)=12a\vs4\a1\co1(a-1-r(2))八a\vs4\alco1(a-1+1r(2)),f (a=a(na-1), 由(1)知当0<<1时，x)在x=a处有极大值，且a)<0,此时函数有一个零点： 当a=1时，f)在(0，十∞)上单调递增，且f1)<0,此时函数有一个零点： 当a心1时，x)在(0,1)，(a,十∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，x)在x=