课时验收评价(21) 不等式的证明（Word练习）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

1/3 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅+正版资源 ■.ZXXK.c0m 您身边的互联网+敷辅专家 课时验收评价（二十一) 不等式的证明 1.己知函数fx)=ae-1-lnx-1. (1)若a=1,求x)在(1,1)处的切线方程： (2)证明：当a≥1时，f)≥0. 解：()当a=1时，fx)=c-1-lnx-1o0), f”()=ex-1-1x,k=f”(1)=0, 又1)=0，.切点为1,0)， .切线方程为y一0=0x一1)，即y=0, (2)证明：a≥1，∴ac-1≥e-1, fx)≥er-1-lnx-l. 令p(x)=e-1-lnx-1>0), .9′(e)=ex-1-1x, 令h(c)=e-1-1x, ∴h'(c)=e-1+1x2>0, p’x)在(0，+∞)单调递增，又p'(1)=0, ∴.当x∈(0,1)时，p'()<0: 当x∈(1，十∞)时，p'(xP0, ∴(x)在(0,1)单调递减，在1，+∞)单调递增， p(x=p(1)=0,pe)≥0，fx)≥p(x)≥0，即证fx)≥0. 2.已知函数f)=12x2-alnx(a∈) (①)若fx)在x=2时取得极值，求a的值： (2)求x)的单调区间： (3)若a=-1,求证：当1时，f)<23x3 解：(I)矿()=x一ax,因为x=2是一个极值点，所以2一a2=0,则a=4. 此时f()=x一4x=x十2 X-2x, 因为x)的定义域是(0，+∞)，所以当x∈(0,2)时，f'()<0;当x∈(2，十∞)时，f'() >0.所以当a=4时，x=2是一个极小值点，故a=4满足题意. (2)因为f'()=x-ax=x2-ax, 所以当a≤0时，'(>0，函数fx)的单渊递增区间为0，+四). 当心0时，f'()=a) x一\r(a)x,所以函数fx)的单调递增区间为a,十o), 单调递减区间为0，a. 综上，当a≤0时，函数fx)的单调递增区间为0，十四)： ·独家授权侵权必究 2/3 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 当a>0时，函数fx)的单调递增区间为a,十∞)，单调递减区间为0，a). (3)证明：当a=一1时，=12x2+lnx 设g(x)=233-12x2-lnx,x>1, 则g'(w)=2x2-x-1x 因为当xo1时，g'(x)=x一1 2x2+x+1X20, 所以(x)在(1，十∞上为增函数， 所以gxPg(1)=16>0. 所以当x>1时，12x2+lnx<23x3,即fx)233. 3.(2022沧州二模)已知函数fx)=xnX一ax,a∈R. ()求fx)的单调区间； (2)证明：x)+e一a. 解：(1)函数fx)=xlnx-ax=lnx-ax,定义域为0，十o),f'(c)=lx十ax2=x十ax2, ①当a≥0时，'（少0，fx)单谓递增： ②当a<0时，一a>0,x∈(0，一a)时，f”(c)<0,fx)单调递减： x∈（一a,+∞）时，f'(x)>0,fx)单调递增. 综上，当a≥0时，x)的单调递增区间为0，十∞)，无单调递减区间 当a<0时，x)的单调递减区间为0，一a),单湖递增区间为一a,十∞) (2)证明：由1)知，当a=一1时，f=lnx+1x0),且)≥f1)=1, 所以xlnx十1≥x, 因为y)=xlnx一ax,所以不等式fx)十e>一a等价于xlnx十e0, 令g)=x十et-1,则g'()=1一e-x=ex-1ex心0在x>0时恒成立， 所以当心0时，gxPg0)=0, 又xlnx+1≥x,所以xdnx十e-x≥x-1十e0, 故xnx十e->0,即xfx)+e>-a. 4.(2023南通模拟)已知函数f八x)=ax十lnx (1)讨论fx)的单调性； (2)若f)=f)=21卡x),证明：a2<x2<ae. 解：()函数fw)=ax十lnx的定义域为0，+o),则f'(c)=x一ax2, 当a≤0时，f'(x>0恒成立，则f)在0，十∞)上单调递增： 当a>0时，()0的解集为0，a),f”c少0的解集为a,+∞)， 即fx)的单调递增区间为a,十o∞)，单调递减区间为0，a), 综上，当a≤0时，x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>0时，fx)在(a,+oo)上单调递增，在(0，a)上单调递减， 独家授权侵权必究· 3/3 色学科网书城▣ 品牌书店，知名教辅·正版资源 b2XXk.c0m○ 您身边的互联网+敷辅专家 (2)证明：因为fx)=f)=2s卡x,由(1)知，a>0,且xmm=fa)=lna十1<2，解得 a∈(0，e), 设x1<2,则0<x1<a<2,要证xx2>a2,即证x>a2xl>a,即证f (x2)Aa\vs4\al