专题尺规作图　中考数学复习讲义

专题四 尺规作图 1. 知识储备 五个基本尺规作图： 1. 作一条线段等于已知线段； 2. 作一个角等于已知角； 3. 作已知线段的垂直平分线； 4. 作已知角的角平分线； 5. 过一点作已知直线的垂线； 尺规作图和几何推理填空： ①熟悉5种基本作图，用2B的笔芯作图，画明显一点； ②填空一定要读懂题目中的思路，按题目的思路完成推理，注意空格前的条件和后面的结论（联系上下文），填写时要仿照题中的书写，全等、相似一定要顶点对应. 作一个角等于已知角（角的两边是射线） 作一条线段等于已知线段 作线段的垂直平分线（直线，两边都要出头） 作角的平分线（射线，要一边出头） 过一点作已知直线的垂线（直线，两边都要出头） （1） 过直线上一点作垂线 （2）过直线外一点作垂线 2． 例题讲解 例 （2023.重庆A）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴△COE≌△AOF（ASA）． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点直线____________________④_____________________． 3． 巩固练习 1.（2022.重庆A）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F(只保留作图㾗迹)． 在△BAE和△EFB中， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB=90°． 又∠A=90°， ∴______________① ∵AD∥BC， ∴______________② 又_________________③ ∴△BAE≌△EFB(AAS)． 同理可得_____________________④ ∴S△BCE=S△EFB+S△EFC=S矩形ABFE+S矩形EFCD=S矩形ABCD. 2.（2023.六校联盟三诊）在学习菱形的判定时，小明思考怎么在平行四边形ABCD（AD＞AB）里面剪出一个菱形，小明的思路是：先作∠BCD的角平分线交于，在上截取，然后连接通过邻边相等的平行四边形得菱形，请根据小明的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，在上截取（保留作图痕迹，不写作法、结论） （2）证明：四边形为平行四边形， ___________________ ． ， 平分， __________________ ． ， __________________ ． ， __________________ ． 四边形是平行四边形； 又 _______________ ， 四边形是菱形． 3.小南在学习过程中遇到了一个问题：试说明顶角为120°的等腰三角形的面积，与以其腰为边长的等边三角形的面积相等，已知：在中，，，她的思路是以AC为边构造等边三角形，将问题转化为证明三角形全等，根据全等三角形的面积相等使问题得到解决，请根据小南的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，在BC下方作，在射线CD上截取一点E，使得，连接AE交BC于点F（只保留作图痕迹）. 在中，____①__________，且， ， ， ， ， ∴____②_____________， ，， ， 在和中， . ∴____④_____________. ，， . 4.在学习几何的过程中，小明遇到了一个问题：在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E是AB边的中点，且DE平分∠ADC，探究线段AD，CD，BC之间的关系.他的思路是：首先过点E作DC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的线段相等使得问题