专题14 抛物线-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题14 抛物线 目录一览 2023真题展现 考向一 直线与抛物线 真题考查解读 近年真题对比 考向一 抛物线的性质 考向二 直线与抛物线 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 直线与抛物线 1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　） A．p＝2 B．|MN| C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 【命题意图】 考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想． 【考查要点】 抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等． 【得分要点】 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． ②定义的实质可归纳为“一动三定” 一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)． 二、抛物线的方程及简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 三、直线与抛物线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 四、弦长问题 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦， 如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 注：(1)x1·x2＝. (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)． (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法 ①一般弦长：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 考向一 抛物线的性质 2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（　　） A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180° 故选：ACD． 3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（　　） A．1 B．2 C．2 D．4 4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为　 　． 考向二 直线与抛物线 5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（　　） A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切 C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2 根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等． 一．抛物线的标准方程（共1小题） 1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为