拓展微课(二) 抛物线焦点弦的性质 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦抛物线焦点弦性质，通过基础巩固、性质综合到推理证明的三层设计，培养运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|焦点弦坐标关系、弦长公式|3道单选题（如第1题y1y2计算、第2题倾斜角与弦长），夯实概念理解| |提升层|性质综合判断、焦半径比例|4题（多选2道、填空2道，如第4题性质辨析、第7题AF=4BF求焦半径），强化知识关联| |综合层|推理证明、综合应用|2道解答题（如第8题弦长与向量定值、第9题三点共线证明），发展逻辑推理与创新意识|

拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 1.过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 2.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　 ) A. B.6 C.12 D.7 3.[2025·南阳六校高二期末] 过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,其中点A在第一象限,且|AF|=4,则|AB|= (　 ) A. B.6 C. D.8 4.(多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是 (　 ) A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小 B.+= C.以弦AB为直径的圆与直线x=-相离 D.y1y2=-p2 5.(多选题)[2026·南通高二期中] 设O为坐标原点,过抛物线C:y2=4x的焦点F作斜率为的直线,与C交于M,N两点,l为C的准线,M,N在直线l上的射影分别为M1,N1,则下列说法正确的是 (　 ) A.|MN|= B.△OMN的面积是 C.直线l与以MN为直径的圆相切 D.△FM1N1是直角三角形 6.已知AB是过抛物线x2=4y焦点的弦,且|AB|=10,则AB的中点的纵坐标为　　　　.  7.[2025·清华大学附中高二期末] 已知抛物线x2=4y的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点,若|AF|=4|BF|,则|AF|=　　　　.  8.(13分)设抛物线C:y2=4x,O为坐标原点,F为焦点,过F的直线l交抛物线于A,B两点. (1)若l的斜率为1,求|AB|; (2)求证:·是一个定值. 9.(15分)已知O为坐标原点,抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的端点A,B在准线上的射影分别为I,H,证明:I,O,B三点共线,H,O,A三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展微课(二)　抛物线焦点弦的性质 1.B　[解析] 由抛物线焦点弦的性质知,x1x2=,y1y2=-p2,故==-4,故选B. 2.C　[解析] 因为过抛物线C:y2=3x的焦点,且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,所以|AB|===12.故选C. 3.A　[解析] 方法一:易知l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,得x1=3,因为点A(3,y1)在C上,所以=4×3=12,又点A在第一象限,所以y1=2,故A(3,2).又F(1,0),所以kl=kAF==,所以直线l的方程为y-0=(x-1),即y=(x-1).由得3x2-10x+3=0,则x1+x2=,由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=+2=.故选A. 方法二:设直线l的倾斜角为θ,则|AF|===4,故cos θ=,得sin θ=,故|AB|===.故选A. 4.AD　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+,将x=ty+代入y2=2px,得y2-2pty-p2=0,则y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2==.|AB|=|y1-y2|=2p(1+t2),当t=0时,|AB|最小,此时直线AB与x轴垂直,故A中说法正确;+=+==,故B中说法错误;以弦AB为直径的圆的圆心为,半径为|AB|=(x1+x2+p)=pt2+p,圆心到准线的距离d=(x1+x2)+p=pt2+p=|AB|,所以圆与准线x=-相切,故C中说法错误;y1y2=-p2,故D中说法正确.故选AD. 5.BCD　[解析] 如图,易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1,设点M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的方程为x=y+1.对于A选项,由可得y2-3y-4=0,解得y=-1或y=4,不妨令y1=-1,y2=4,则x1=,x2=4,所以|MN|=x1+x2+2=+4+2=,A错误;对于B选项,S△OMN=|OF|·|y1-y2|=×1×5=,B正确;对于C选项,设线段MN的中点为E,则xE=,则yE=×=,故E,点E到直线l的距离为+1==|MN|,故直线l与以MN为直径的圆相切,C正确;对于D选项,由点M,N(4,4),则点M1(-1,-1),N1(-1,4),又F(1,0),故=(-2,-1),=(-2,4),所以·=4-4=0,即FM1⊥FN1,故△FM1N1是直角三角形,D正确.故选BCD. 6.4　[解析] 由抛物线x2=4y,可得p=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过抛物线的焦点,根据抛物线的焦点弦的性质可得|AB|=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,所以AB的中点的纵坐标为=4. 7.5　[解析] 方法一:抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y整理得x2-4kx-4=0,则x1x2=-4.由|AF|=4|BF|,得x1=-4x2,可得x1=4或x1=-4,所以y1=4,所以|AF|=y1+1=5. 方法二:由抛物线焦点弦的性质得+==1,又|AF|=4|BF|,所以+=1,故|AF|=5. 8.解:设A(x1,y1),B(x2,y2). (1)∵直线l的斜率为1且过点F(1,0), ∴直线l的方程为y=x-1,由消去y得x2-6x+1=0,Δ=32>0, ∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8. (2)证明:由题可设直线l的方程为x=ky+1,由消去x得y2-4ky-4=0,Δ=16k2+16>0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-4, 则=(x1,y1),=(x2,y2). ∴·=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,∴·=-3是一个定值. 9.证明:如图,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-. 设直线AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 则=2px1,=2px2. 因为A,B在准线上的射影分别为I,H, 所以I,H. 由消去x整理得y2-2pmy-p2=0,则y1y2=-p2, 所以kIO-kBO=-=--=--=-=0,即kIO=kBO, 所以I,O,B三点共线. 同理可证H,O,A三点共线. 学科网（北京）股份有限公司 $