第71讲 圆锥曲线中的最值问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第71讲 圆锥曲线中的最值问题 题型一 与线段、周长有关的最值问题 例1、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________． 变式1、（2023·山西·统考一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______. 变式2、（2023·广东广州·统考一模）（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ） A．点的横坐标的取值范围是 B．的取值范围是 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 变式3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知椭圆E：的焦距为，且经过点． (1)求椭圆E的标准方程： (2)过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值． 变式4、（2022·全国·江西师大附中模拟预测）已知抛物线C：（p＞0），抛物线C的焦点为F，点P在抛物线上，且的最小值为1． (1)求p； (2)设O为坐标原点，A，B为抛物线C上不同的两点，直线OA，OB的斜率分别为，，且满足，求｜AB｜的取值范围． 题型二 与面积有关的最值问题 例2、（2022·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4； (1)求C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线上和，直线与C相交于两个不同点A，B，在线段上取点Q，满足，直线交y轴于点R，求面积的最小值． 变式1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围． 变式2、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知曲线在轴上方，它上面的每一点到点的距离减去到轴的距离的差都是2.若点分别在该曲线上，且点在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点.记的面积分别为 (1)求曲线方程； (2)求的取值范围. 变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）设椭圆经过点M，离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设椭圆E的右顶点为A，过定点且斜率不为0的直线与椭圆E交于B，C两点，设直线AB，AC与直线的交点分别为P，Q，求面积的最小值. 题型三 与向量有关的最值问题 例3、（2023·江苏南京·校考一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q． (1)求椭圆C的方程； (2)若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程； (3)若，且，求的最大值． 变式、（2022·安徽宣城·二模）已知椭圆的左顶点是A，右焦点是，过点F且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，B为线段AP的中点，O为坐标原点，直线AP与BO的斜率之积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l为圆的切线，且l与C相交于S，T两点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第71讲 圆锥曲线中的最值问题 题型一 与线段、周长有关的最值问题 例1、（2023·云南·统考一模）若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解． 【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知， 的最小值即为的最小值减去半径． 因为，， 设， ，由于恒成立， 所以函数在上递减，在上递增，即， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 变式1、（2023·山西·统考一模）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一动点，则周长的最小值为______. 【答案】 【分析】过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为，进而结合抛物线的定义求解即可. 【详解】解：由题知，准线方程为. 如图，过作准线的垂线，垂足为，过作准线的垂线，垂足为， 所以周长，当且仅当为与抛物线的交点时等号成立. 故答案为：. 变式2、（2023·广东广州·统考一模）（多选题）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ） A．点的横坐标的取值范围是 B．的取值范围是 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 【答案】BC 【解析】设点，依题意，， 对于A，，当且仅当时取等号， 解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误； 对于B，，则， 显然，因此，B正确； 对于C，的面积，当且仅当时取等号， 当时，