16.2 最简二次根式和同类二次根式（讲+练，七大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

16.2 最简二次根式和同类二次根式 教学目标：（1）理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式； （2）通过与同类项类比，体会类比思想. 教学重难点：合并同类二次根式. 知识点一 最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 化简后的二次根式里: （1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. [注意]1.这里说到的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数; 2. 两个条件缺一不可. 即学即练 判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 最简二次根式的判断方法： （1） 一看：看被开方数中是否有指数不是1的因式，且被开方数中是否含有分母； （2） 二化: 若被开方数是多项式，能化成因式乘积的形式,要先化成积的形式； （3） 三判：判断之后得出结论. 2.二次根式的化简 根据是二次根式的4个性质: （1） （2） （3） （4） 注意： 对二次根式进行化简时,要注意以下几点:(1)保证每一步所得的二次根式都有意义;(2)要化简的二次根式的被开方数是分数或分式时，分子开方化简的结果还是分子，分母开方化简的结果还是分母;(3)结果要化为最简二次根式. 即学即练 将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 知识点二 同类二次根式 1.同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 提示 判断几个二次根式是否为同类二次根式,分两步:(1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)观察它们的被开方数,若被开方数相同，则它们是同类二次根式: 否则就不是. 即学即练 （2022·上海松江·校考三模）下列式子属于同类二次根式的是（　　） A． 与 B．与 C．与 D．与 同类二次根式的判断,只与化简后的最简二次根式的被开方数有关，与根号外的因式无关. 2合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项类似，只需将同类二次根式根号外的因式进行加减,根指数与根号内的被开方数不变. 即学即练 如果两个最简二次根式与能够合并，那么 a 的值为 ． 合并同类二次根式的一般步骤: 一化,化成最简二次根式;二合，合并同类二次根式 题型一 最简二次根式 例1 （2023·上海浦东新·校考三模）下列二次根式中，最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 举一反三1 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列各二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 举一反三2 （2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ． 题型二 复合二次根式的化简 例2 （2022春·上海杨浦·九年级校考阶段练习）当时，化简： ． 举一反三1 （2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）化简： ． 举一反三2 像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1) 化简：； (2) 化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 题型三 化为最简二次根式 例3 将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 举一反三1 化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 举一反三2 化简 （1） （2） 题型四 已知最简二次根式求参数 例4 （2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 举一反三1 （2023春·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若最简根式与是同类二次根式，则 ． 举一反三2 （2023春·吉林白城·八年级校联考期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m = ． 题型五 同类二次根式 例5 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 举一反三1 若与是同类二次根式，求的最小正整数？ 举一反三2 判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 题型六 二次根式的创新题 例6 （2022秋·上海嘉定·八年级统考阶段练习）设的整数部分为，小数部分为， . 举一反三1 （2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 举一反三2 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数