第二十一章 一元二次方程 小结与复习（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（人教版）

小结与复习 第二十一章 一元二次方程 优翼数学教学课件（RJ）九下 本章知识结构框图 一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a b c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 要点梳理 根 根的判别式Δ=b2−4ac Δ>0,方程有两个不等的实数根 Δ=0,方程有两个相等的实数根 Δ<0,方程无实数根 *根与系数的关系 解法 因式分解法： 直接开平方法： 公式法： 形如 (mx + n)2 = p (p≥0，m≠0) 的方程 一般形式的方程先配方为 (mx + n)2 = p (p≥0) 的形式再求解 配方法： 若方程可变形为 (mx + n)(px + q) = 0 (mp≠0)，则 x1 = ，x2 = 应用 列一元二次方程解实际问题的步骤： 审、设、列、解、验、答 几种常见类型 传播问题 单(双)循环问题 平均变化率问题 销售问题 数字问题 几何图形面积问题 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于 x 的方程 (m - 1)x2 + mx - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠ 1 B. m = 1 C. m≥1 D. m ≠ 0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须有二次项 (二次项系数不为 0)，因此它的系数 m - 1 ≠ 0. A 1. 方程 5x2 - x - 3 = x2 - 3 + x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 针对训练 要点梳理 解析 根据一元二次方程根的定义可知，将 x = 0 代入原方程，左右两边相等，则有 m2 - 1 = 0，解得 m = ±1. 舍去 1，应填 -1. 这种解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于 x 的一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m2 - 1 = 0 有一个根为 0，则 m = . 【易错提示】由于原方程是一元二次方程，所以 m 的值为 1 不符合其定义，应舍去，要引起注意. -1 针对训练 2. (1) 关于 x 的一元二次方程 x2 + px − 2 = 0 的一个根为 2，则 p 的值为 . (2) 若 x = −2 是方程 ax2 + bx + 3 = 0 (a ≠ 0) 的一个解，则代数式 1 − 8a + 4b 的值是 ． (3) 若 x = a 是方程 x2 − x − 1 = 0 的一个根，则 −a3 + 2a + 2023 的值为________. −1 2022 7 【易错提示】(1)运用配方法应先将二次项系数化为 1，(a - b)2 与 (a + b)2 要准确区分；(2)求三角形的周长，不能盲目地将所得边长相加，而应养成检验三边长能否构成三角形的好习惯. 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； (2) 先求出方程 x2﹣13x + 36 = 0 的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边长，进而求得三角形周长. 考点二 一元二次方程的解法 例3 (1) 用配方法解方程 x2 - 2x - 5 = 0 时，原方程应变为（ ） A.(x - 1)2 = 6 B.(x + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 = 6 D.(x - 2)2 = 9 (2) (易错题) 三角形两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x2﹣13x + 36 = 0 的根，则该三角形的周长为（　 ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 13 或 18 A A 针对训练 3. 用适当的方法解方程： (1) x2 − 4x − 1 = 0； 配方法 解：移项，得 x2 - 4x = 1. 配方，得 x2 - 4x + 22 = 1 + 22， 开平方，得 (x - 2)2 = 5. 解得 (1) x2 − 4x − 1 = 0； 公式法 即 方程有两个不相等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −1. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−1) = 20＞0. (2) (2x − 1)2 = (3 − x)2. 解：2x −1=±(3 - x)， 即 2x −1 = 3 − x，或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2. 解：移项得 (2x − 1)2 − (3 − x)