【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-2：1-5 定积分的概念（配套课件+课时检测+课后巩固试题，7份）

课时作业(十二) 一、选择题 1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设半径为r，则弧长为l－2r. S扇＝r. (l－2r)·r＝－r2＋·弧长·半径＝ 令S′扇＝－2r＋.＝0，得r＝ 2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为(　　) A．10 B．15 C．25 D．50 答案　C 3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积最大，则其高为(　　) A. cm B．100 cm C．20 cm D. cm 答案　A 4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为(　　) A．30海里/时 B．25海里/时 C．20海里/时 D．10海里/时 答案　C 二、填空题 5．如图，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km，计划铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短． 答案　 解析　设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km. 由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3. ∴CE＝＝0.4. ＝ ∴CD＝0.4－x. ∴AD＝BD＝. ＝＝ ∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD ＝2＋0.4－x. 令l′＝2·＝0， －1＝ 即2x－.(∵x＞0) ＝0.解得x＝ 当x＜时，l′＞0. 时，l′＜0；当x＞ ∴l在x＝时有最小值． 6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______． 答案　R 解析　作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为. 圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3. 令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0. ∴h＝R时，圆柱体的体积最大．R，即当2h＝ 三、解答题 7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？ 解析　设圆柱的高为h，底面半径为R， 则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝.① ∴V＝πR2h＝RS－πR3. R(S－2πR2)＝ ∴V′(R)＝S－3πR2. 令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中 h＝＝2R. ∴h＝2R时，圆柱的容积最大． 8．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 解析　设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元， 则f(x)＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)， f′(x)＝48－. 令f′(x)＝0，得x＝15. 当x>15时，f′(x)>0； 当10<x<15时，f′(x)<0. 因此，当x＝15时， f(x)取最小值f(15)＝2 000(元)． 答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 9．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元． (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解析　(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为＋bv)， ＝s(＋bv2·，全程运输成本为y＝a· ∴所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)，v∈(0，c]． (2)由题意s、a、b、v均为正数． 由y′＝s(b－.但v∈(0，c]． )＝0，得v＝ ①若时，全程运输成本y最小； ≤c，则当v＝ ②若>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小． 综上可知，为使全程运输成本y最小． 当； ≤c时，行驶速度v＝ 当>c时，行驶速度v＝c. 10．(2010·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(