河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等两校联考2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023-2024学年度上学期高三年级开学考试 数学试卷 本试卷共22题．全卷满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数（i为虚数单位）等于 A． B． C． D． 3．设函数在处的切线方程为，则的值是(　 　)． A． B． C． D． 4．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（    ） A．样本容量为240 B．若样本中对平台三满意的人数为40，则 C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300 D．样本中对平台一满意的人数为24人 5．若向量，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．下列命题错误的是 A．命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”； B．若命题，则； C．中，是的充要条件； D．若向量满足，则与的夹角为钝角. 8．把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入方法种数为（ ） A．36 B．45 C．72 D．165 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．的图象在处的切线方程为 D．和的图象所有交点的横坐标之和为10 10．已知双曲线，左、右焦点为，为双曲线上一点，则下列正确的是（    ） A．离心率为 B．渐近线方程为 C．虚轴长为4 D．若，则 11．等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方形所得的截面记为S，则下列命题正确的是（　　） A．异面直线与所成角为 B．当Q运动到某一点时，S可能是五边形 C．当时，S为等腰梯形 D．当CQ=1时，S为矩形 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知直线过圆的圆心且与直线垂直.则的方程是 ． 14．已知，. ① ② ③ ④ 其中正确的序号是 . 15．如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则 . 16．已知，关于的方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知为的三个内角，其所对的边分别为,且. (1)求角的值； (2)若，求的面积． 18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）： 好评 差评 合计 男性 68 108 女性 60 合计 216 （1）请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列； （3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取人．现从这人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是； （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 21．已知椭圆的离心率等于，椭圆与抛物线交于两点（在轴的上方），且经过的右焦点. （1）求椭圆的方程； （2