【高考调研】2015高中数学（人教A版）选修2-2：2-3 数学归纳法（配套课件+课时检测+课后巩固试题，5份）

课时作业(二十五) 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　B 2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　) A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1) 答案　A 二、填空题 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式是Sn＝________. 答案　 三、解答题 4．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 证明　(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时命题成立，即f(k)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， (k＋1)(k－2)＝(k2－k－2)＝k(k－3)＋k－1＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝ 即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈N*都成立． 5．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)． 证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立． 6．已知数列. ，S4＝，S3＝，S2＝，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，…，， 观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明． 解析　推测Sn＝(n∈N*)． 用数学归纳法证明如下： (1)当n＝1时，S1＝，等式成立； ＝ (2)假设当n＝k时等式成立，即Sk＝，那么当n＝k＋1时， Sk＋1＝Sk＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝. ＝ 也就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知一切n∈N*，等式均成立． 7．设数列{an}的前n项和为Sn，方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. (1)求a1，a2； (2)求{an}的通项公式． 解析　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－. )－a2＝0，解得a2＝)2－a2(a2－，于是(a2－ 所以a1＝. ，a2＝ (2)因为方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1， 所以(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即S－2Sn＋1－anSn＝0. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0]1,2)，S2＝a1＋a2＝，n＝1,2,3，…. ，由此猜想Sn＝，由(*)可得S3＝＝＋ 下面用数学归纳法证明这个结论： ①当n＝1时，已知结论成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即Sk＝. 当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝， 所以Sk＋1＝. ＝＝ 故当n＝k＋1时结论也成立． 根据①②可知，Sn＝对所有正整数n都成立． 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝. ＝－ 又因为n＝1时，a1＝，符合通项公式， ＝ 所以{an}的通项公式为an＝，n＝1,2,3…. 8．已知数列{an}中，a1＝－＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． ，其前n项和Sn满足an＝Sn＋ 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2. ∴Sn＝－(n≥2)． 则有S1＝a1＝－， ＝－，S2＝－ S3＝－. ＝－，S4＝－＝－ 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立． ②假设n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－成立， 那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－. ＝－＝－＝－ 即n＝k＋1时猜想成立． 由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立． 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2