专题6.4 数列求和讲义-2024届高考数学一轮复习

专题6.4 数列求和 1．特殊数列的求和公式 ⑴公式法 ①等差数列前项和公式：. ②等比数列前项和公式：. ⑵重要公式 ① ② ③ ④ ⑤等差数列中：； ⑥等比数列中：. 2．数列求和方法的选择 给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项能拆分成几个等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列两项的差，那么用裂项相消法；如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 1.【人教A版选择性必修二 4.2.2 练5 P23】一个等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为和，最后一项与第一项的差为，求此数列的首项、公差以及项数． 2.【人教A版选择性必修二 复习参考题4 第11题 P56】已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列， 证明：； 若，，求的前项和． 考点一 公式法求和 【方法储备】 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和. 【典例精讲】 例1.(2023·河南省新乡市月考) 记为等比数列的前项和，已知． 求的值； 求数列的前项和． 例2.(2023·辽宁省六校联考) 已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·广东省揭阳市月考)（多选） 已知数列是等差数列，为数列的前项和，则下列说法中正确的是(    ) A. 若，且的前项或前项和最大，则的公差 B. 若，，则使成立的最大的为 C. 若，，则 D. 若，，则 练1-2(2022·广东省江门市月考) 在①，；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答． 已知数列的前项和为，且满足____． 求的通项公式； 求的值． 考点二 分组(并项)法求和 【方法储备】 分组转化法求和的常见类型: 1.若，且为等差或等比数列，或者可用其他常见方法求和的数列，分别求和后相加. 2.通项公式为的数列，分奇偶项求和, 要注意处理好奇偶数列对应的项. 3.正负相间求和：在一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． ⑴奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”. ⑵如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇；求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项. 【典例精讲】  例3.(2023·云南省昆明市模拟) 已知数列满足，． 若数列满足，证明：是常数数列 若数列满足，求的前项和． 例4.(2022·湖北省荆门市月考) 已知数列的前项和为，且，． 证明：数列是等比数列； 记设，求数列的前项的和． 例5.(2022·重庆市联考) 设数列满足，，且． 求证：数列为等差数列，并求的通项公式； 设，求数列的前项和． 【拓展提升】 练2-1(2022·广东省佛山市模拟) 设各项非零的数列的前项和记为，记，且满足， Ⅰ求的值，证明数列为等差数列并求的通项公式 Ⅱ设，求数列的前项和． 练2-2(2023·天津市市辖区模拟) 设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为， Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ设数列的通项公式 求数列的前项和； 求． 练2-3(2022·湖南省长沙市模拟) 已知数列满足， 求证：数列是等比数列 设，求数列的前项和． 考点三 错位相减法求和 【方法储备】 错位相减法求和的策略： 1.如果数列是等差数列，是等比数列，求数列 前项和时，可采用错位相减法. 设等比数列的公比为, 等差数列的公差为： ① ② ①-②得, 整理求得. 注意： ⑴在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式． ⑵在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分为公比等于1和不等于1两种情况求解． ⑶在转化为等比数列求和后，需看准项数，不一定为项. 【典例精讲】 例6.(2023·山东省菏泽市期中) 已知数列满足，， Ⅰ求证：数列是等比数列 Ⅱ若，为数列的前项和，求． 【拓展提升】 练3-1(2022·江苏省常州市月考) “垛积术”隙积术是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层件，以后每一层比上一层多件，最后一层是件．