湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题

2023年下学期周南中学高三年级入学考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数m的值是（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（ ） A. B. C D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在正项等比数列中，，则（ ） A. 1011 B. 1012 C. 2023 D. 2024 7. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题有（ ） A. 已知随机变量X服从正态分布且，则 B. 设随机变量，则 C. 在抛骰子试验中，事件，事件，则 D. 在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好 10. 济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数，其中，则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 的单调递减区间为 D. 的最大值是 11. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若点，则最小值为5 C. 无论过点的直线在什么位置，总有 D. 若点在抛物线准线上射影为，则存在，使得 12. 已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. 若为线段上任一点，则与所成角的范围为 B. 若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为 C. 若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为 D. 若三棱锥的体积为恒成立，点的轨迹为椭圆或部分椭圆 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 现有7个大小与形状完全相同､质地均匀的小球，球上标有数字．从这7个小球中随机取出3个，则所取出的小球上数字的最小值为2的概率为__________． 14. 已知函数，若有四个解，则的取值范围是__________． 15. 如图，棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的表面正好经过点，则球被平面截得的截面面积为__________． 16. 已知直线与圆相切于点，直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，且为的中点，则双曲线的离心率为__________． 四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17. 已知在锐角中，分别为内角的对边，若． （1）求； （2）若，求周长的取值范围． 18. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，平面平面，，四棱锥的体积为. （1）求长； （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 20 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求证：． 21. 已知，函数，. （1）证明：函数，都恰有一个零点； （2）设函数的零点为，的零点为，证明. 22. 已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）若点M满足，过点M作AB的垂