24.3 一元二次方程根与系数的关系（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（冀教版）

优 翼 课 件 九年级数学上（JJ） 教学课件 24.3 一元二次方程根与系数的关系* 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第二十四章 解一元二次方程 1.复习一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系. (重点) 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题.（难点） 学习目标 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根. 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 - 3x + 2 = 0 x2 - 2x - 3 = 0 x2 - 5x + 4 = 0 x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 2 1 -1 3 4 3 -3 2 2 1 5 4 讲授新课 一元二次方程根与系数的关系 一 问题1：x1、x2 是一元二次方程的两根，x1+ x2 与 x1·x2 和方程的系数有什么关系？ 猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根之和、两根之积与系数有什么关系. x1 + x2 = - p， x1·x2 = q 一元二次方程 两 根 x1 x2 9x2 - 6x + 1 = 0 3x2 - 4x - 1 = 0 3x2 + 7x + 2 = 0 x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ -2 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 归纳总结 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 拓广探索 一元二次方程的根与系数的关系的两个重要推论： 推论1：如果方程 x2 + px + q = 0 的两个根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = - p，x1· x2 = q. 推论2：以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1) 是 x2 -(x1 + x2) · x + x1· x2 = 0. 一元二次方程根与系数关系的应用 二 类型一 直接运用根与系数的关系 例1 不解方程，求下列方程两根的和与积. 典例精析 在使用根与系数的关系时，应注意： (1)不是一般式的要先化成一般式； (2)在使用 时，注意“－ ”不要漏写. 注意 例2 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 类型二 求关于两根的代数式的值 典例精析 例3 已知方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， ∴ x2 = 5 . 又 x1 · x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 类型三 求方程中字母系数的值 典例精析 当堂练习 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. ___ -3 3.方程 有一个正根，一个负根，求 m 的取值范围. 解：设方程的两根为 x1，x2，则， 即 m ＞ 0； m - 1 ＜ 0. ∴0 ＜ m ＜ 1. 4. 已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且 (x1 + 1)(x2 + 1) = 4. （1）求 k 的值； （2）求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1) 由根与系数的关系，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1