24.3 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学冀教版九年级上册

24.3 一元二次方程根与系数的关系 数学（冀教版） 九年级 上册 第二十四章 一元二次方程 学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 　 温故知新 1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0 3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根； △ < 0 时，方程没有实数根； 4. 一元二次方程的求根公式是什么？ 　 导入新课 (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 -2x +1 = 0 x2 +3x -10 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 1 1 2 -5 -1 2 1 -3 -10 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？ 解下列方程并完成填空： x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ 思考： 讲授新课 知识点一 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 思考： 猜想： 讲授新课 证明： 注：b2 - 4ac≥0 讲授新课 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 满足上述关系的前提条件 △=b2 - 4ac≥0. 特别注意： 讲授新课 典例精析 【例1】求下列方程两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5＝0； (2) 2x2＋x＝1. 解：(1) 设方程x2＋2x－5＝0 的两根分别是x1、x2 . ∵a＝1、b＝2、c＝－5， ∴x1＋x2＝－＝－2，x1x2＝＝－5. (2) 把方程化成一般形式，得2x2＋x－1＝0. 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a＝2、b＝1、c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝－. 讲授新课 练一练 1、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解： a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 解： a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 讲授新课 2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1● 2＝3k 即 2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2. 讲授新课 知识点二 韦达定理常见的式子求值 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系 数学语言 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 使用条件 1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0； 2.方程有实数根，即 Δ≥0. 重要结论 1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q. 2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 讲授新课 常见的求值式子如下 讲授新课 【例2】已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解：首先化为一般式 则： 典例精析 讲授新课 【例3】已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 【解题过程】 讲授新课 练一练 1、已知 是方程 x2-3x-4＝0 的两个实数根， 则 的值为 . 0 解：根据题意得 α+β=3，αβ=-4， 所以原式 = α(α+β)-3α =3α-3α =0． 讲授新课 2、设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4， 求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 讲授新课 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3. ∴（ ）2-4× =1 3、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1. 讲授新课 4、已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则： 讲授新课 5、设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解: 根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 当堂检测 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p=___ , q=____ . 1 -2 -3 3.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: (1)x1+x2=____ ; (2)x1·x2=_____; (3) _____; (4) _____. 4 1 14 12 当堂检测 4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 当堂检测 5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 解:根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 当堂检测 6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得 当堂检测 7、已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 解：(1)∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且(2k＋1)2－4k(k＋2)＞0， 解得k＜且k≠0. ∴ k的取值范围是k＜且k≠0. 当堂检测 7、已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (2)若该方程的两根x1、x2满足＋＝－3，求k的值. (2)∵一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2的两个根是x1、x2， ∴ x1＋x2＝－ ，x1x2＝. ∵ ＋ ＝－3，∴ ＝－3， 即 ＝－3，解得k=－5. 经检验，k=－5是原分式方程的解且符合题意，故k的值为－5. 当堂检测 8. 已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是4＋、4－，求b、c的值. 解：∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是4＋、4－， ∴4＋＋4－＝－b，(4＋)(4－)＝c， ∴b＝－8，c＝11. 当堂检测 9. 已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求＋的值. 解：∵ 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n， ∴ m＋n＝，mn＝－. ∴ ＋＝＝＝＝－. 当堂检测 10. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值. 解：(1)根据题意，得b2－4ac＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0， 解得m＞. 当堂检测 (2)设x1，x2是方程的两个根，根据题意，得 x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜， 所以m的取值范围为＜m＜， 所以m＝1或 m＝2. 当m＝2时，方程的两个根都不是整数，舍去； 当m＝1时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，符合题意. 所以整数m的值为1. 课堂小结 一、一元二次方程的根与系数的关系 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 二、常见的求值应用 谢 谢~ $$