24.3 一元二次方程根与系数的关系-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

24.3 一元二次方程根与系数的关系答案7) (课程标准变动内容) 通基>9999%9999999 (2)当m=2时，方程的根为x1,x2,求代数式 (x+2x1)(x+4x2+2)的值. 知识点一元二次方程根与系数的关系 1.新视野若x1,x2是方程x2一6.x一7=0的两 个根，则() A.x1十x2=6 B.x1十x2=-6 7 C.x1x2=7 6 D.x1x2=7 2.运算能力》一元二次方程x2十3x一1=0的两 根为x1,x2,则+1的值为( ) 易错固混淆一元二次方程根与系数的关系，造 成错解 A.2 B.-3 C.3 8.已知关于x的一元二次方程x2一8x一k2=0 3.(2023·邯郸月考)关于x的一元二次方程 (k为常数). x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和一1， (1)求证：方程有两个不相等的实数根. 则b2一c2的值为() (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且x1十 A.-1B.1 C.2 D.-2 2x2=7,试求出方程的两个实数根和k的值. 4.(2023·保定莲池区期末)已知关于x的一元 二次方程x2一3x十2=0有两个不相等的实数 根x1,x2,则x子十x号的值是( A.-7B.7 C.5 D.-5 5.(2023·石家庄裕华区期中)若m,n是方程 x2+2x一3=0的两个实数根，则代数式m2+ 3m+n= 6.若关于x的方程x2+（k一2)x十k2=0的两根 互为倒数，求的值. 通能力>>2>》 9.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx一3=0的 两根，且满足x1十x2一3x1x2=4,那么b的值 为() A.5 B.-5 C.4 D.-4 7.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x十10.若a,b是一元二次方程x2+3x一6=0的两 m2-3=0有实数根， 个不相等的实数根，则a2一3b的值是( ) (1)求实数m的取值范围. A.3 B.-15C.-3 D.15 一九年级·上册·数学：山 34 11.已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且 通素第>2》沙 a,b是关于x的一元二次方程x2一12x+ m十2=0的两根，则m的值是() 17.阅读理解》阅读材料： A.34 B.30 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+ C.30或34 D.30或36 c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a, 12.(2023·唐山路北区期中)已知一元二次方程 6,c有如下关系：x1十x2=- C ai-a x2-4x十m=0的一个根为x1=1,则另一个 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 根x2三 两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 13.(2023·承德月考)非零实数m,n(m≠n)满 解：，m,n是一元二次方程x2一x一1=0的 m2一m-2=0,n2-n-2=0,则上十 两个实数根， m ∴.m+n=1,mn=-1. 14.已知关于x的方程x2一6x+k=0的两个根 则mn+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列 分别是1,2，且满足】十1=3，则的 问题： 值是 (1)应用：一元二次方程2x2十3x-1=0的两 15.(2023·保定期末)已知关于x的一元二次方 个实数根为x1,x2,则x1十x2=, 程x2+(2m-1)x+m2-1=0. x1x2= (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围. (2)类比：已知一元二次方程2x2+3x一1=0 (2)若方程两实数根分别为x1,x2,且满足 的两个实数根为m,n,求m2十n2的值. x+x号=9，求实数m的值. (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s一1=0， 242+36-1=0,且5≠，求1的值， 16.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 2x+2m=0的两个根，是否存在m使x号十 x=0?若存在，求出m的值；若不存在，请 说明理由。 35 优计学案·课时通一0.整理，得(7-4x)(8x-11)=0.∴.7-4x=0,或 方，得x-2=士√3，x=2土√3.x1=2十√3，x2= 7 11 8x-11=0.x1=4x2=8 2-5. (3)原方程可化为(y-1)2-2y(y-1)=0,(y一 (4)移项，得x2-6.x十9=0，则(x-3)2=0, 1)(y-1-2y)=0,(y-1)(-y-1)=0,得y-1= ∴.x1=x2=3. 0,或-y-1=0.∴y1=1,y2=-1. 6.x1=2,x2=-7 13.解：(1)证明：(k-2)2-4k×(-2)=(k+2)2≥0， 7.A8.A9.C10.D11.4.8 ∴.不论为何值，这个方程都有两个实数根. 12.解：(1)二 (2)kx2+(k-2)x-2=0(k≠0)， (2)3x(3x-1)=-(3x-1), 2 3x(3x-1)+(3x-1)=0, (kx-2)(x十1)=0，解得x1=友x:=-1. (3x-1)(3x+1)=0, 3x-1=0或3x+1=0, :该方密的两根均为整数号为能数。 所以x1-3=子 1 ∴.整数k为士1或士2. 14.解：(1)①③ 13.解：(1)x2+8x=9, (2)证明：，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0) x2+8x-9=0, 为“和谐方程”，.b=a十c, (x+9)(x-1)=0, ∴.b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0， x+9=0或x-1=0, “和谐方程”总有实数根。 解得x1=一9，x2=1. (3)一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)为“和 (2)3x2-5x=2, 谐方程”，∴b=a十c. 3x2-5x-2=0, ,和谐方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的 (3x十1)(x-2)=0, 实数根，∴.b2-4ac=(a十c)2-4ac=(a-c)2=0, 3x十1=0或x-2=0, ∴.a=c. 1 解得x1=一3x2=2. 15.解：(1)a2-3a-1=0(a≠0) (2)设x2+2x=y,原方程化为y-y-6=0,解得 14.解：(1)小林的解法不正确.理由：小林在方程两边 y1=3,y2=一2.当y=3时，即x2十2x=3,解得 同除以含有未知数的代数式4x一1时，认定了 x=1或x=-3;当y=-2时，即x2+2x=一2， 4x-1≠0，忽视了4x一1=0的情况，所以漏掉了 x2+2x十2=0，b2-4ac=4-8=-4<0,无解.综 1 x=4这个解。 上所述，原方程的解为x1=1,x2=一3. 24.3一元二次方程根与系数的关系* (2)移项，得(2y-1)2-3(1-2y)=0, (课程标准变动内容) 即(2y-1)2+3(2y-1)=0. 1.A2.C3.A4.C5.1 .(2y-1)(2y-1+3)=0. 6.解：，x1x2=2,两根互为倒数，2=1.解得=1 .2y-1=0或2y+2=0. 或-1. 1 y1=2y2=-1. 方程有两个实数根，.(k一2)2一4k2≥0. 当k=1时，(k一2)2一4k2<0,应舍去， 阶段检测一（24.1~24.2) 故k的值为-1. 1.B2.C3.B4.B5.B6.B 7.解：(1)由题意，得(2m-1)2-4(m2-3)≥0， 7.a≥48.149.010.k<4.5 11.解：，m是方程x2-x一2=0的一个实数根， 解得m<号 .m2-m-2=0,.m2-m=2,m2-2=m, (2)当m=2时，方程为x2+3x十1=0， m-mv是+）-8×n2+-2x x1十x2=一3，x1x2=1.,方程的根为x1,x2, x+3x1+1=0,x+3x2+1=0,.(x+2x1)· (网+1=2x1+1)=4. (x+4x2+2)=（x员+2x1+x1-x1)(x2+3x2+ x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)=(-1-x1)· 12.解：(1)这里a=2,b=-4,c=-5. (x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2 .b2-4ac=(-4)2-4X2X(-5)=56>0. 3-2=1. 4士√564士2√14_2士√14 .x= 8.解：(1)证明：.b2-4ac=(-8)2-4X1×(-k2)= 2×2 4 2 64十4k2>0,.方程有两个不相等的实数根， 2+142-√14 (2)由题意，得x1十x2=8,且x1+2x2=7, ∴.x1= 2x2= 2 解得x1=9,x2=一1.将x2=一1代人原方程， (2)配方，得x2-4x+4=3,即(x-2)2=3.两边开平 得(-1)2-8×(-1)-k2=0,解得k=±3. 9.A10.D11.A12.313.-号4.2 m2-1. .x+x号+x1x2-17=（x1+x2)2-x1x2-17= 15.解：(1).方程有实数根， [-(2m+1)]2-(m2-1)-17=0, (2m-1)2-4X1X(m2-1)≥0，解得m≤ 解得m,三了，m,=3(不合题意，舍去) (2),方程两实数根分别为x1,x2, .x1十x2=-2m十1，x1·x2=m2-1. m的值为3 5 x子十x=9,.(x1十x2)2-2x1x2=9, 7.解：(1)证明：一元二次方程x2+（2一m)x十 即(-2m+1)2-2(m2-1)=9. 1-m=0,.b2-4ac=(2-m)2-4(1-m)=m2- 解得m=3或m=一1. 4m+4-4+4m=m2. “m≤dm=-1 ,m2≥0，.该方程总有两个实数根. (2)一元二次方程x2+(2-m)x十1一m=0, 16.解：不存在.理由：x1,x2是关于x的一元二次方 解方程，得x1=-1,x2=m-1. 程x2+2x+2m=0的两个根，∴.x1十x2=一2， ,m<0,∴.-1>m-1. x1·x2=2m,x1十x=(x1十x2)2-2x1·x2=0, 该方程的两个实数根的差为3， ∴.(-2)2-2·2m=0,解得m=1.当m=1时， .-1-(m-1)=3..m=-3. b2-4ac=22-4×1×2=-4<0,此时方程无解， 8.-39.A 即不存在m使x十x号=0. 10.解：(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2= 4(c十a十b)(c-a一b).:a,b,c分别是三角形的 17解：1)-- 三边长，.a+b>c,∴.c+a+b>0,c-a-b<0, (2).一元二次方程2x2+3x一1=0的两根分别 ∴.b2-4ac<0,∴.方程没有实数根. 11.解：(1)证明：b2-4ac=[-(m+2)]2-4×2m= 为m,n,m十n=-3, 1 ,mn=-2, (m一2)2≥0，∴.不论m为何值，该方程总有两个实 mn(m-2mm1 数根. 4 (2):AB,AC的长是该方程的两个实数根， (3),实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1= ∴.AB+AC=m+2,AB·AC=2m..△ABC是 0,且s≠t, 直角三角形，∴.AB2+AC2=BC2,.(AB十 ∴s,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实 AC)2-2AB·AC=BC2,即(m+2)2-2X2m= 数根十4=一名=分 32,解得m=士√5.又AB·AC=2,m为正 数，.m的值为5. a-s=+-4x=(2》}°-4× 12.B 13.解：一次函数y=x十b的图像不经过第二象 (》-只4-=±罗 限，∴.k>0,b≤0.在x2十kx十b=0中， 2 b2-4ac=k2-4b>0, ∴.方程有两个不相等的实数根 11 土07 2 14.解：一次函数y=kx十b的图像经过第一、二、四 1 =土√17. 象限，k<0,b>0,kb<0. 又.b2-4ac=(-2√3)2-4×(kb+3)=-4kb> 专题二根的判别式的应用 0,∴.关于x的一元二次方程x2-2√5x十kb+3=0 1.C 有两个不相等的实数根. 2.解：(1)当k=0时，方程为x2一3x+2=0,则(x 24.4一元二次方程的应用 1)·(x-2)=0,.x-1=0或x-2=0,解得x1= 第1课时面积问题 1,x2=2. (2)证明：：b2-4ac=[-(k+3)]2-4×1×(2k+ 1.C2.80m3.C4B5.号cm6.C7.8 2)=k2+6k+9-8k-8=k2-2k+1=(k-1)2≥8.59.A10.C11.D12.1m 0,.无论取任何实数，方程总有两个实数根. 13.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 3.C4.A5.D 70-2x+2=(72-2x)m. 6.解：(1)根据题意，得(2m+1)2-4(m2-1)>0, 根据题意，得x(72-2x)=640, .4m2+4m+1-4m2+4>0, 化简，得x2一36x+320=0. 54m>-5dm>-是 解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40, (2)根据题意，得x1十x2=一(2m十1)，x1x2= 当x=20时，72-2x=72-40=32.