第五讲 立体图形的表面积和体积(二)（学法指导+经典范例+方法延伸+强化训练）—六年级数学思维训练专题讲义

六年级数学思维训练讲练合集（通用版） 立体图形的表面积和体积（二） 班级 姓名 得分 学法指导 立体图形的学习，要求同学们有良好的空间想象能力，也就是将看到的图形或文字信息转化成抽象的立体图形并从各个角度展现的能力，这就要求我们在学习立体图形时，要多画图，多想象，这样才能培养出良好的空间想象能力。 经典范例 ① （海峡两岸数学邀请赛五年级复赛试题）一个长方体的高缩短3. 8厘米后就成为以一个正方体，表面积比原来减少45.6平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少？ 【思路点拨】由“一个长方体的高缩短3.8厘米后就成为一个正方体”可知，这个长方体的长与宽相等，并且高比长多3.8厘米，再由“表面积减少45.6平方厘米”（如上图所示）可知，减少部分这个长方体的前、后、左、右四个面的面积之和就是45.6平方厘米，即可求出原长方体的长或宽为： 45.6÷4÷3.8=3(厘米)，则原长方体的高为：3+3.8=6.8(厘米)。 【完全解题】 原长方体的长或宽：45.6÷4÷3.8=3(厘米) 原长方体的高：3+3.8=6.8(厘米) 原来这个长方体的表面积：(3×3+3×6.8+3×6.8)×2=99.6(平方厘米） 答：长方体的表面积是99.6平方厘米。 方法延伸 1 1.（西安铁一中考题） 一个圆柱高10厘米，如果它的高增加1厘米，那么它的表面积增加6.28平方厘米。求原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 2.（蛟川书院考题） 如下图所示，把一个底面半径为5厘米的圆柱，沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，则圆柱的体积是 。 经典范例 ② （西安工大附中考题）一个封闭的长方体容器（可移动）放在桌面.上（如下图），它的长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米，里面水的高度是4.5厘米，小丽在不增加或者不减少水的质量的情况下，将容器平放在桌面上且改变容器中水的高度，此时水的高度可能是 厘米。 【思路点拨】解法一：将封闭的长方体容器向后推倒，以它的后面为底面（如图①)，这时里面水的高度是多少厘米？ 解法二：将封闭的长方体容器朝右整起来，以它的右面为底面（如图②)，这时里面水的高度是多少厘米？ 不管把长方体容器向后推倒还是朝右竖起来，容器里的水流动了，形状变了，但体积不变；这时水的形状是一个长方体。体积是：8×4×4.5=144(立方厘米)，图①的底面积是：8×6=48(平方厘米)，图②的底面积是：6×4=24(平方厘米)，然后分别求出水的高度。 【完全解题】 水的体积：8×4×4.5= 144(立方厘米) 解法一：水的高度：144÷(8×6)=3(厘米) 解法二：水的高度：144÷(6×4)=6(厘米) 方法延伸 2 1.（青岛市育才中学考题） 一个酒瓶里面深30厘米，底面内直径是10厘米，瓶内酒深15厘米。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米（如图）。酒瓶容积是多少？ 2.（西安高新一中考题） 如图①所示，有甲、乙、丙三个相同的长方体杯子，杯深20厘米，且各装有15厘米高的水。 如图②所示，将大小相同的弹珠放入三个杯中，甲杯2颗，乙杯4颗，丙杯6颗，结果甲的水位上升到18厘米，乙、丙两杯水满都溢出，则丙杯溢出的水量是乙杯溢出水量的多少倍？ 经典范例 ③ （甘肃省小学生数学冬令营试题）一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米。现将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的圆柱形铁块垂直放入容器中，这时容器内的水深是 厘米。 【思路点拨】如上图所示，首先要判断圆柱形铁块是否完全淹没在水中。假设圆柱形铁块足够高，即圆柱形铁块没有被水面淹没，则解题时要抓住圆柱形铁块放入水中前后水的体积保持不变， 水的体积为：52π×15=375π(立方厘米)，后来水的底面积为：52π-22π=21π(平方厘米)，那么后来水深为：375π÷21π=17（厘米）。因为17>17，说明圆柱形铁块完全淹没在水中，则解题时要抓住：圆柱形铁块的体积六容器的底面积=水面上升的高度。 【完全解题】 假设圆柱形铁块足够高，则后来水深为： (52π×15)÷(52π-22π)=17（厘米） 因为117>17，所以圆柱形铁块完全淹没在水中。 铁块放入容器后水面上升的高度：(22π×17)÷(52π)=2.72(厘米) 后来水深为：15+2.72=17.72(厘米) 【特别提醒】解答此题的关键是要判断圆柱形铁块放入水中是否完全淹没在水中。（1）如果完全淹没在水中，则解题时要抓住：圆柱形铁块的体积÷容器的底面积=水面上升的高度。（2）如果没有淹没在水中，则解题时要抓住圆柱形铁块放入水中前后水的体积保持不变。 方法延伸 3 1.（北京中关村