专题6.3 等比数列讲义-2024届高考数学一轮复习

专题6.3 等比数列 1．等比数列的有关概念 ⑴等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（）. 用递推公式表示为：. 注意：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列. ⑵等比中项：如果组成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，由等比数列的定义可知. 即只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. ⑶等比数列的通项公式及其变形： ① 等比数列中， 则， 当时，也成立，故； ② ，两式相除可得 ⑷等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： I.当时，，等比数列是非零常数列. 它的图象是在直线上均匀排列的一些孤立的点. II.当且时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（且）上的一些孤立的点. ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列. III.当时，等比数列是摆动数列. 2．等比数列的前项和 错位相减法求等比数列的前和： ① ② ①-②得： 得(为常数). 3．等比数列的性质 ⑴等比数列的常用性质： ①在等比数列中，若且，则； ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项，即； ③在等比数列中，相隔相等项组成的数列是等比数列； ④若数列是等差数列，则等仍为等比数列． ⑤数列为各项均为正数的等比数列，则数列是公差为的等差数列． ⑵ 等比数列的前和的性质 ①连续项和（不为零）仍是等比数列.即成等差数列； ②数列项数为项，则，数列项数为,则. ③若是公比为的等比数列，则. 4.等差数列与等比数列的区分与联系 ⑴如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． ⑵如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． ⑶如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． ⑷如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 1.【人教A版选择性必修二 4.3.2 例8 P36】已知等比数列中，，，前项和为，则与的大小关系为          ． 2.【人教A版选择性必修二 习题4.3 第10题 P41】（多选）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则下列命题正确的是(    ) A. B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 考点一 等比数列中的基本量运算 【方法储备】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可求解. 要抓住基本量，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 2.等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论， 当时，的前项和；当时，的前项和. 【典例精讲】 例1.(2023·江西省吉安市月考)（多选）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 例2.(2023·广东省自主招生) 已知等比数列的前项和是，若，，则(    ) A. 或 B. 或 C. D. 例3.(2023·浙江省杭州市月考) 已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练1-1(2023·浙江省杭州市期中)（多选） 已知数列的前项和为，且或的概率均为，设能被整除的概率为，则(    ) A. B. C. D. 当时， 练1-2(2023·江苏省常州市模拟) 已知等比数列的前项和为，且，，数列满足． 求数列和的通项公式； 若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 考点二 等比数列的判定与证明 【方法储备】 等比数列的判定与证明方法： 1.定义法：当时，证明对任意正整数都有等于同一个常数． 2.等比中项法：证明对任意正整数都有. 3.通项公式：是以为首项，为公比的等比数列． 4.前项和公式法： (为非零常数,)⇔前的系数和常数项是互为相反数，则数列是以为公比的等比数列． 说明：⑴证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. ⑵在利用递推关系判定等比数列时，要注意对的情形进行验证. 【典例精讲】  例4.(2023·北京市市辖区月考) 设，数列满足，．