7.3.1 三角函数的周期性 课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

7.3.1 三角函数的周期性 第七章 【教学目标】 通过对生活中和数学中的周期现象的分析,抽象概括出周期函数的定义. 掌握正弦、余弦、正切函数的最小正周期,并会求一些简单三角函数的周期. 【核心素养】 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 情景引入 观察下列图像， 这些图像具有怎样的共同规律？ 周而复始 情景引入 三角函数诱导公式一是怎样的，当k =1时呢？ k =1 以上三类函数所具有的这种性质称为周期性. 设函数 y=f(x) 的定义域为A， 如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 那么函数 f(x)就叫作周期函数， 非零常数 T 叫作这个函数的周期. f(x＋T)＝f(x) 5 新课 周期函数的定义 5 6 新课 最小正周期 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么，这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期.（今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期）. 6 7 新课 因此,正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k ≠ 0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π. 通过观察正切线不难发现，正切函数 y=tanx 也是周期函数，并且最小正周期是π. 7 8 新课 思考∶所有的周期函数都有最小正周期吗? 【提示】并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数 f(x) = C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期. 8 【例1】若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示. (1) 求该函数的周期; (2) 求t=10s时钟摆的高度. 解（1）由图象可知，该函数的周期为1.5s. （2）设 h=f(t)，由函数 f(t)的周期为1.5s，可知 f(10)=f(1＋6×1.5)=f(1)=20. 所以t =10 s时钟摆的高度为20mm. 典例精析 跟踪联系 已知弹簧振子对平衡位置的位移 x (单位∶cm) 与时间 t (单位:s) 之间的函数关系如图所示. （1）求该函数的周期; （2）求t=10.5s 时弹簧振子对平衡位置的位移. 解（1）由图象可知，该函数的周期为4 s. （2）设 x=f(t)，由函数 f(t)的周期为4 s ，可知 f(10.5)=f(2.5＋2×4)=f(2.5)=-8(cm). 所以t =10.5 s时钟摆的高度为-8cm. 【例2】　求函数 f(x)=cos2x 的周期 典例精析 设 f(x)周期为 T，则 f(x＋T)= f(x)，即 cos2(x＋T)=cos2x 对任意实数 x 都成立.也就是 cos(u＋2T) = cosu 对任意实数 u 都成立，其中 u = 2x. 由 y=cos u 的周期为2π，可知使得cos(u＋2T)= cosu对任意实数 u 都成立的2T的最小正值为2π ，可知 2T=2，即 T= π. 所以f(x)= cos 2x的周期为T. 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 总结提高 12 答案:B 跟踪练习 跟踪练习 14 跟踪练习 15 课堂小结 16 课堂小结 17 本节内容结束 eq \f(2π,ω) eq \f(π,ω) 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝ ．函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为 ． 1.f(x)=tan的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 解析:T=. 2．若函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________． 2　[T＝eq \f(2π,|ω|)＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．] 3．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________． 2　[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．] 1．本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期． 2．本节课重点掌握求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解． (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|)． (3)观察法，即通过观察函数图象求其周期． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解． $$