精品解析：北京市育英学校(四年制高三)2021-2022学年高二下学期期中练习数学试卷

2022年育英学校四年制高三第二学期期中练习 数学 2022.04 考生须知： 1.本试卷共6页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名. 3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题.（每小题4分，共40分） 1. 设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则关系为（ ） A. B. C. D. 2. 若a>b，则 A. ln(a−b)>0 B. 3a<3b C. a3−b3>0 D. │a│>│b│ 3. 已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项.设数列满足，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下列命题正确是（ ） ①奇函数； ②方程有且仅有1个实数根； ③在上是增函数； ④如果对任意，都有，那么的最大值为2. A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 5. 二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 三内角的对边分别为,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 7. 已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则 A. B. C. D. 9. 设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 A. B. C. D. 第二部分非选择题（共110分） 二、填空题.（每小题5分，共25分） 11. 在中，，，且的面积为，则________. 12. 如图，矩形中，，，为的中点. 当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的最小值为_________. 13. 已知函数，则函数的单调增区间为__________. 14. 已知函数. ①当m＝0时，函数零点个数为__________. ②如果函数恰有两个零点，那么实数m的取值范围为__________. 15. 如图，在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点（点与不重合），则下面结论中正确的是__________.（填序号） ①存在点，使得平面平面 ②存在点，使得平面 ③对任意点的面积都不等于 ④分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意点， 三、简答题.（共85分） 16. 在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，． （1）求证：∥平面； （2）求证：⊥平面； （3）求二面角的余弦值． 17. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 18. 设是各项均为正数的等比数列，且，． Ⅰ求的通项公式； Ⅱ． 19. 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数． （Ⅰ）求X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值； （Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论） 20. 设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数. （1）讨论f(x) 的单调性； （2）证明：当x＞1时，g(x)＞0； （3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取