第二十一章 一元二次方程 单元练习 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 知识与方法 1、定义 (1)等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。 (2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。 2、一元二次方程的解法 (1)直接开方法。适用形式:x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 (2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2 (3)公式法。当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的实数根可写为:的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 (4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。 3、一元二次方程与实际问题 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤: 第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。 第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第3步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第4步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第5步:检验。检验所求得的根是否满足题意。 第6步:答。 提升练习 一、选择题 1.一元二次方程的二次项系数是( ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的一个根为2,则的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.“读万卷书,行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识,坚持开展课外阅读活动,学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x,则可列方程为( ) A. B. C. D. 4.已知一元二次方程,下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 5.方程的解是( ) A., B., C., D., 6.若一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( ) A. B.且 C.且 D. 7.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为1和-1,则的值为( ). A.-1 B.1 C.2 D.-2 8.教育系统要组织一场足球赛,每两队之间进行两场比赛,计划踢90场比赛,则要邀请多少个足球队?( ) A.10场 B.9场 C.8场 D.7场 二、填空题 9.一元二次方程的根的判别式的值为 . 10.已知a、b是方程的根,则式子的值为 . 11.若m是方程的一个根,则的值为 . 12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 . 13.某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,那么每个支干长出 小分支. 三、解答题 14.解下列方程: (1). (2). 15.已知关于x的一元二次方程.求证:方程总有两个实数根. 16.某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是43,求这种植物每个支干长出的小分支个数 17.某市为鼓励居民节约用水,对居民用水实行阶梯收费,每户居民用水量每月不超过a吨时,每吨按0.3a元缴纳水费;每月超过a吨时,超过部分每吨按0.4a元缴纳水费. (1)若a=12,某户居民3月份用水量为22吨,则该用户应缴纳水费多少元? (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况: 月份 用水量(吨) 交水费总金额(元) 4 18 62 5 24 86 根据上表数据,求规定用水量a的值 18.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. (1)如果多种5棵橙子树,计算每棵橙子树的产量; (2)如果果园橙子的总产量要达到60375个,考虑到既要成本低,又要保证树与树间的距离不能过密,那么应该多种多少棵橙子树; (3)增种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少? 参考答案 1.A 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.A 9.9 10. 11.2026 12.k<3且k≠2 13.9 14.(1)解:∵, ∴, ∴或, ∴,; (2)解:∵, ∴, ∴, ∴或, ∴, 15.证明:由题意可知. ∵, ∴方程总有两个实数根. 16.解:设这种植物每个支干长出的小分支个数是x, 依题意得:, 整理得:, 解得:(不合题意,舍去),. 故答案为:6. 17.(1)解:根据题意得:该用户3月份用水量超过a吨, 元; (2)解:若 ,有 ,解得: ,即 ,不合题意,舍去, ∴ , 根据题意得: , 解得: (舍去), 答:规定用水量a的值为10