湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

长郡中学2023级高一入学检测试卷 数 学 时量：90分钟 满分：100分 得分__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知a是的小数部分，则的值为（　 　） A． B．4 C． D． 2．如果不等式的正整数解是1，2，3，4，那么m的取值范围是（　 　） A． B． C． D． 3．如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（　 　） A．6 B．8 C．9 D．10 4．如图，在中，∠DAB与∠CBA的平分线相交于DC边上的一点E，若AE=3，BE=2，则的面积为（　 　） A．3 B．6 C．8 D．12 第4题图 第6题图 第7题图 第8题图 5．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　 　） A．或 B． C． D． 6．如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（　 　） A．15 B．20 C．25 D．27 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为（1，），则k的值为（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E．设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若，则tan∠ACO的值为（　 　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 9．设点P（x，y）在第二象限内，且，，则点P关于原点的对称点为________． 10．关于x、y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，则a=________． 11．二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由4个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为________． 12．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是________． 三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，点C是的中点，过点C作AD的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AE=6，CE=，求的长． 14．（12分）为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）． 根据上述信息，解答下列各题： （1）该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________； （2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数； （3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）． 统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 … 该班级男生 3 3 4 2 … 根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大小． 15．（14分）如图，矩形AOCD中，AO=6，AD=3，点H在线段OC上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH． （1）当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标； （2）在（1）的条件下，已知二次函数的图象经过A，D两点．若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度． 16．（14分）函数（a为常数，）． （1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）当a=4时，此函数图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点P为x轴下方图象上一点，过点P作PQ∥y轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值； （3）点M（，），N（0，），连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出a的取值范围． 第 1 页 共 4 页 $$长郡中学2023级高一入学检测试卷 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 题号 1 3 4 5 6 8 答案