第一讲 底高倍数法解图形问题（学法指导+经典范例+方法延伸+强化训练）—六年级数学思维训练专题讲义

六年级数学思维训练讲练合集（通用版） 底高倍数法解图形问题 班级 姓名 得分 学法指导 求与三角形（四边形）相关的阴影部分的面积，解法很多而其中最重要的解法是“底高倍数”法。“底高倍數”法： （1）等底等高的三角形面积相等； （2）若两个三角形的高（或底）相等，那么这两个三角形底（或高）的比就是它们的面积之比。因此我们要学会我高（或底）相等的三角形，然后用底高倍数关系解题。有些题目没有明显的高（或底）相等的三角形，这就要求我们通过添加辅助线去构建高（成底）相等的三角形，进而用底高的倍数关系解题。 经典范例 ① （西安高新一中考题）如图①所示，在△ABC中，AD:DC=2:3,AE=EB，甲，乙两个图形面积的比是 。 【思路点拨】连接BD，如图②所示。 S△ABD=×S△ABC=S△ABC S甲=×S△ABD=S△ABD S甲=××S△ABC=S△ABC S乙=(1-)×S△ABC=S△ABC S甲:S乙=:=1:4 【完全解题】 连接BD。 S甲=××S△ABC=S△ABC;S甲:S乙=:=1:4 所以，甲、乙两个图形面积的比是1:4。 方法延伸 1 1.（沈阳市育才中学考题） 如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△COD和△BOC的面积分别为4平方厘米和16平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米。 2.（西安益新中学考题） 如图所示，四边形ABCD是长方形， BE=8,CE=2,CD=7,M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积。 经典范例 ② （蛟川书院考题）如图①所示，OABC的面积为45.点E,F,G分别在AC,BC,AB.上，且AE=AC,FC=BC, BG=AB，求△EFG的面积。 【思路点拨】因为题干中没有告诉有关△EFG的任何条件.直接求S△EFG有难度，因此本题需要运用数学中一个非常重要的思想一“正难则反”，即阴影面积难求，则先求空白部分的面积。连接AF、BE（如图②)。再根据“底高倍数”法，得S△ABE=S△ABC，S△AGE=△ABE,S△AGE=××S△ABC=S△ABC，同理可得另外两个空白三角形占整体的分率。 【完全解题】 连接AF,BE，如图②所示。 S△AGE=××S△ABC=S△ABC ； S△BFG=××S△ABC=S△ABC S△EFC=××S△ABC=S△ABC ； S△EFG=(1---)×S△ABC=15 【特别提醒】当阴影部分的面积不能直接求出时，可考虑用“正难则反”的数学思想来解决问题。 方法延伸 2 1.（西安铁一中考题） 如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD边上的中点，G在BC边上，且BC=3GC，已知平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，求阴影部分的面积。 2.（北京中关村中学考题） 如图，在△ABC中，AD=AB,BE=BC,CF=AC，如果△DEF的面积是1，那么△ABC的面积是 。 经典范例 ③ （黄冈中学考题）如图①所示，三角形ABC的面积是1平方厘米，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2,AD与BE交于点F，则四边形DFEC的面积是多少？ 【思路点拨】本题给出了底的倍数关系，但并未清断地出现高相等的三角形，因此解题思路是通过添加辅助线构建高相等的三角形。 连接FC可以利用已知条件的数量关系。本题为代数法解图形问题中的典型题，即：当我们假设具体份数后，其余条件无法用已设份数表示时，其余条件需要用字母表示，不可再次设为具体份数。 【完全解题】 如图②所示，连接FC，根据E是AC的中点，设S△AEF=1份，则S△CEF=1份。又根据BD:DC=1:2，设S△BDF=份，则S△CDF=2份。因为E是AC的中点，所以 S△ABE=S△CBE,即S△ABF+1=3+1，得S△ABF=3。 再由BD:DC=1:2，得S△ADC= 2S△ABD， 即2+2=2×(3+) 解得：= 四边形DFEC的面积占三角形ABC总面积的：(2×+1)+(6×+2)= 四边形DFEC的面积为：1×=（平方厘米） 【特别提醒】此题所给的条件较少，需要对某些条件反复运用，这时设字母参与运算，列出等式或整体代换，将为解题带来方便。 方法延伸 3 1.（合肥市育英中学考题） 如图，三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD,E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是 平方厘米。 2.（西安交大附中考题） 如下图所示，在△ABC中，BD=DC,E是AD的中点，图中阴影部分的面积是35平方厘米，那么OABC的面积是多少平方厘米？ 强化训练 1.（西安交大附中考题）如图所示，在OABC中，已知点D.E、F分别