导数及其运用 学案-2024届北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《导数及其运用》 知识点总结 1. 1 导数的概念及其意义 1. 1. 1　变化率问题 一、物理中的变化率问题 1. 平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到t0+Δt这段时间内的平均速度为= 2. 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (2)一般地，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度v== 二、几何中的变化率问题 1. 抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点P0(x0,f(x0))，P(x0+Δx, f(x0+Δx))的割线的斜率为 =. 2. 抛物线切线的斜率 　　一般地，在二次函数y=f(x)中，当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于某个常数k，我们就说当Δx趋近于0时， 的极限是k，这时k就是抛物线在点P0(x0， f(x0))处切线的斜率，即切线的斜率k==. 三、求瞬时速度 1. 求运动物体瞬时速度的步骤 (1)求时间的改变量Δt和位移的改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0)； (2)求平均速度=； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近的常数v即为瞬时速度，即v= 第 1 页 四、求抛物线的切线方程 1. 求二次函数y=f(x)的图象在点P(x0, f(x0))处的切线方程的步骤 (1)求切线的斜率k==； (2)利用点斜式求出切线方程. 1. 1. 2　导数的概念及其几何意义 一、函数在某点处的导数 1. 函数平均变化率的定义 　　对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx). 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 2. 函数y=f(x)在x=x0处的导数(瞬时变化率) 　　如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)= =. 二、函数在某点处的导数的几何意义 1. 切线的定义 　　在曲线y=f(x)上任取一点P(x, f(x))，如果当点P(x, f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0 (x0, f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 2. 函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0， 即k0==f'(x0). 这就是导数的几何意义. 相应地，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 三、导函数的定义 1. 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时， f'(x0)是一个唯一确定 的数. 这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 四、函数的平均变化率 1. 函数的平均变化率实质上是指函数值的增量与自变量的增量之比，其作用是刻画函数值在区间[a，b]上变化的快慢. 它的几何意义是指P1(a, f(a))，P2(b, f(b))两点割线的斜率. 五、导数概念的理解 1. 函数y=f(x)在x=x0处可导，必须满足两个条件 (1)f(x)在x0处及其附近有定义；(2)当Δx→0时， 的极限存在. 2. Δx是自变量x的改变量，且Δx≠0；Δy是函数值y的改变量，可以为0. 3. 导数定义的等价形式 　    y'=； y'=； y'=. 注意：自变量之差与函数值之差要相互对应. 六、求函数在某点处的导数 1. 利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；(2)求平均变化率=；(3)求极限. 以上三个步骤可简称为“差、商、极限”. 2. 求函数在某一点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算这点的导数值. 七、由导数的几何意义求切线方程 1. 求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解. (1)若“在”，则该点为切点； (2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点. 2. 求曲线f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程的步骤 (1)求出切线斜率k=f'(x0)； (2)利用点斜式求出切线方程：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0