5.3第1课时 函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

§5.3　第1课时　函数的单调性 第五章 【教学目标】 理解并掌握单调增（减）函数的定义及其几何意义. 运用函数图像理解和研究函数的单调性. 【教学重点】 会用单调性的定义证明函数的单调性. 【教学难点】 会求函数的单调区间. 新课 在5.1节开头的第三个问题中，气温 是关于时间 t 的函数，记 为 . 观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的. 怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？ 3 新课 由图可知这段图像上的任意两点 当 类似地，对于区间(14,24)内任意两个值t1 , t2 , 当 由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于这段图象上的任意两点P(t1,)，Q(t2,)， 当t1＜t2时，都有.类似地，对于区间(14,24)内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有. 在区间 上，随着x的增大， 的值随着 . 画出下列函数的图像，并观察其变化规律： 情景与问题 （1） 从左到右图像上升还是下降？ 增大 上升 在区间 上，随着x的增大， 的值随着 . 在区间 上，随着x的增大， 的 值随着 . 画出下列函数的图像，并观察其变化规律： （2） 减小 减小 情景与问题 从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性． 新课 新课 任意 f(x1)<f(x2) 新课 f(x1)>f(x2) 如果函数y＝f（x），在区间 I 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单调性，区间 I 叫做y＝f（x）的单调区间． 在单调区间上: 增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. 新课 典例精析 例1 画出下列函数图像，并写出单调区间： 【解】（1）函数图像如图所示，增区间为 ， 减区间 （2）函数图像如图所示， 和 是 两个减区间. 典例精析 例2 证明：函数f(x)=--1在区间(-，0)上增函数. 【解】设x1，x2为区间(-，0)上的任意两个值，x1＜x2，x1x2＞0, 因为f(x1)-f(x2)=(--1)-(--1), =-=,所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2), 故f(x)=--1在区间(-)上是增函数. 证明函数单调性的一般步骤： 取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）； 作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）； 定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论； 下结论：根据定义得出其单调性. 跟踪练习 下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y =(x) 的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． -5 O x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 -1 -2 【解】单调区间： 单调增区间：, 单调减区间：. 跟踪练习 物理学中的玻意耳定律 （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p 将增大．试用函数的单调性证明之． 【解】任取且, 那么, , , 该函数在区间上是减函数. 课堂小结 定义： 证明： 取值→作差→定号→下结论 一般地，设函数的定义域为，且： (1) 如果对任意，当时，都有，则称在上是增函数（也称在上单调递增）. (2) 如果对任意，当时，都有，则称在上是减函数（也称在上单调递减）. 本课结束 1．单调增(减)函数的概念 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A． 如果对于区间I内的 两个值x1，x2．当x1<x2时，都有 (1) ①称y＝f(x)在区间I上是增函数． ②I称为y＝f(x)的增区间． (2) ①称y＝f(x)在区间I上为减函数． ②I称为y＝f(x)的减区间． $$