24.2 直角三角形的性质-【勤径学升】2023-2024学年九年级上册数学同步练测重点知识锦囊（华东师大版）

九年级数学·华师版（上册） BH=2x,即BD+DF+FH=2x, 即x-2+52+4=2x,解得x=54. 答：建筑物的高为54米 恩国②利用直角三角形进行测量 ○解题技巧 ◆典例2 典例2（吉林长春农安期中）如图，地面上放着一个小凳子 利用匀股定理求直角三角形的边 (AB与地面平行)，点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为 长的方法：在直角三角形中，若己知两 40cm.在图①中，一木杆的一端与墙角0重合，另一端靠在 边求第三边，则可直接用勾股定理及 点A处，OA=50cm. 其变形公式，即a2+2=2,c= (1)求小凳子的高度： √a2+b,a=√e-b,b=√c2-ad (2)在图②中，另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙 (为斜边长)求解：若已知一边，另两 上的点C处.若OC=90cm,木杆BC的长度比AB的长度长 边可用合同一个字母的代裁式表示， 60cm,求AB和BC的长度 则运用勾般定理a2+b2=c2(c为料边 长)列方程求解 图①D 出 【解】(1)如图③，过A作AM垂直于墙面，垂足为M,根据题 意可得AM=40cm,在R1△A0M中，OM=AO2-AM2= √502-40=30cm,即小凳子的高度为30cm. 图3等 图④ (2)如图④，延长BA交墙面于点N,可得∠BNC=90°，AWN =40cm,ON=-30cm,设AB=xcm,则CB=(x+60)cm, BN=(x+40)cm,在Rt△BCN中，CN=90-30=60cm, BN2+CN2=BC2,即(40+x)2+60=(60+x)2,解得x= 40,则BC=60+40=100cm.故AB的长度为40cm,BC的 长度为100cm. 24.2直角三角形的性质 新知鉴，脉络梳理川 理要点 知腮点@直角三角形斜边上的中线的性质 一归纳总结1 归纳总结① 直角三角形科边上的中线的性质 性质 直角三角形斜边上的中线① 斜边的一半 的逆命题也是真命题，即如果三角形 如图，在△ABC中，∠ABC=90°， 一边的中线等于这条边的一半，那么 数学语言 BD为AC边上的中线，则BD= 这个三角形是直角三角形： 回 32 见比图桥国酮林亭/微信扫码领取配套资源稳步提升成馈 第24章解直角三角形0 知腮盒②含30·角的直角三角形的性质 口妇纳总结？ 归纳总结☑ 舍30°角的直角三角形的性盾的 在直角三角形中，如果一…个锐角等于30°，那么它所对的直 性质 角边等于固 的-一半 逆命题也是真命题，即在直角三角形 中，如果一茶直南边等于料边的一半， 如图，在△ABC中，∠ABC=90P, 那么这条直角边所对的锐角等于30 数学语言 ∠C=30°，则AB=④ 答案 回等于回)AC圆斜边 题型社，实例探索川 理变点 )) 圆國①直角三角形斜边上的中线的性质的应用 ○解题技巧 ◆典例利 典例国如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，CD为边AB上 本题的已如条件中有中点、直角， 由此联想到直角三角形斜边上的中线 的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE交直线BC于 等于斜边的一半这一性质 点F、G为EF的中点，连结CG并延长交直线AB于点H. (1)试说明：①AE=CF:②CG=GD; (2)若AE=6,CH=10,求边AC的长， 【解】(1)①：AC=BC,∠ACB=90°，CD 为边AB上的中线， ∴.AD=DC=DB,∠A=∠B=45°，CD⊥AB. .∠A=∠BCD=45 DF⊥DE,∴.∠EDC+∠CDF=90 又，∠ADE+∠EDC=90°，∠ADE=∠CDF, ∴△ADE兰△CDF,.AE=CF ②，∠ACB=90°，DF⊥DE,G为EF的中点， CG-DG-EF. (2)由(1)得AE=CF=6,cG=GD=P, ∴.∠GCD=∠GDC. ,∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°， .∠CHD=∠GDH,∴.GH=GD=CG, DG=7CH.EF=CH=10. 在Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2, 即62+CE2=102,解得CE=8, .·.AC=AE+CE=14. 见此图标甄抖骨/微馆招码领取配套资源稳步提升成绩 33 ①九年级数学·华师版（上册） 题國②含30°角的直角三角形的性质的应用 )解题技巧 ◆典例2 典例2（吉林白山临江期来）如图，已知∠AOB=60°，点P在 本题通过作高，既可以利用等猴 边OA上，OP=10,点M、N在边OB上，PM=PN,若MN= 三角形“三线合一”的性质求线段长， 2,则0M= 义可以构造直角三角形利用舍30°角 的直角三角形的性质求线段长 660 660/ 【解析】如图，作PH⊥MN于H,PM=PN,.MH=NH= 2N=1,在△P0H中，：∠P0H=600PH=30, 0m=0p=