第70讲 圆锥曲线中的定值问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第70讲 圆锥曲线中的定值问题 题型一 圆锥曲线中面积为定值问题 例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值. 变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值． 变式2、（2021·湖北武汉市高三模拟）已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点． （1）求E的标准方程； （2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值． 题型二 圆锥曲线中线段为定值问题 例2、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值. 变式1、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 变式2、（2023·浙江温州·统考三模）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点. (1)设，求证：是定值； (2)求的取值范围. 变式3、（2022·江苏如东·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，离心率为e，且点(e，3)，(，b)都在双曲线C上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A，B是双曲线C上位于x轴上方的两点，且AF1//BF2.证明：为定值. 题型三 圆锥曲线中斜率为定值问题 例3、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）. (1)求的值； (2)证明：直线与斜率之积为定值. 变式1、（2022·新疆·三模）已知椭圆的离心率为，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． (1)求椭圆C的方程； (2)设不过点的直线l与C相交于A，B两点，直线TA，TB分别与x轴交于M，N两点，且．求证直线l的斜率是定值，并求出该定值． 变式2、（2022·江苏海安·高三期末）已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标． 变式3、（2022·广东罗湖·高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，，当时，． (1)求C的方程； (2)证明：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第70讲 圆锥曲线中的定值问题 题型一 圆锥曲线中面积为定值问题 例1、（2022·山东青岛·高三期末）已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值. 【解析】(1) 由椭圆的左右焦点分别为，且， 可知： ，即① ， 将代入方程得： ②， ① ②联立解得 ， ② 故椭圆的标准方程为. (2) 证明：设 ， 当直线 斜率不存在时，即 ， 由原点为的重心，可知 故可得此时有 ，该点在椭圆上，则 ， 不妨取 ，则有，或， 则此时 ; 当直线 斜率存在时，不妨设方程为 ， 则联立 ，整理得： ， 且需满足 ， 则 ， 所以 ， 由原点为的重心知， ， 故坐标为 ，代入到中， 化简得： ，即 ， 又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍， 所以 ， 而 = = ， 因此 =， 综合上述可知：的面积为定值. 变式1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值． 【解析】 (1)由已知有， ∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴， ∴点的轨迹方程 (2) 由，可知为的重心， ∴， 由已知的斜率存在，设直线的方程为：，， 由， 则， ， 由，， ∴， ， ∴． 变式2、（2021·湖北武汉市高三模拟）已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点． （1）求E的标准方程； （2）设M为E在第一象限的任一点，