第24章 相似三角形（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪教版）

第24章 相似三角形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 1 相似形 知识梳理 1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动． 2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形． 3．形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形． 【总结】 1．相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形 是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1； 2．对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到． 4．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例． 【注意】 1．理解相似多边形的定义，明确“对应”关系； 2．多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）． 【例1】下列给出的图形中，不是相似形的是（ ） （A）由同一张底片印出来大小不同的照片 （B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 （C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 （D）五星红旗上的大五角星和小五角星 【答案】C 【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形． 【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同． 【变式演练】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） 【答案】A 【例2】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由. 【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，　将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为， 而宽的比为， 很明显， 所以做不到. 【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为. 【变式演练】已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为26.求四边形的各边长. 【答案与解析】∵四边形与四边形相似，且 . 又∵四边形的周长为26   即四边形的四边长为：. 【总结升华】多边形相似周长比等于相似比. 2 比例线段 知识梳理 1．一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作：（或），其中．除以所得的商叫做与的比值．如果：的比值等于，那么． 2．两条线段的长度的比叫做两条线段的比． 3．如果（或），那么就说成比例．其中叫做第一比例项，叫 做第二比例项；叫做第三比例项；叫做第四比例项． 4． 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比 例线段，简称比例线段． 【注意】 要注意比例线段的顺序性与单位要统一． 5．如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如 （）时，叫做和的比例中项．、、满足：． 【注意】 比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值正值； 否则，取正、负两个值． 6．比例的基本性质： （1）如果，那么． （2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，的位置可以灵活变化． 若，则、、、、、、． 【思考】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题，为什么？ 7．合比性质：如果，那么； 如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． 8．等比性质：如果，那么（）； 如果，那么（）． 【注意】 等比性质的存在条件 9． 如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项， 那么称这种分割为黄金分割．点称为线段的黄金分割点．与的比值称为黄金分割数，它的近似值为． 　 【注意】 1．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个； 2．利用黄金分割时一定是： ． 【例3】下列各组线段中，成比例的一组是（ ） （A），，， （B），，， （C），，， （D），，， 【答案】A 【解析】只有A选项满足可知其成比例． 【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定． 【例4】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地 的实际距离是 ． 【答案】． 【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为 ，注意单位的转化． 【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化 【例5】设线段、、满足，求、、的值． 【答案】． 【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得． 【总结】考查比例的等比性质的应用． 【变式演练】如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B；