第09讲 求锐角的三角比的值-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第9讲 求锐角的三角比的值 知识一、 特殊锐角三角比的值 备注：一个锐角的正切与正弦随着角度的增大而增大；一个锐角的余切与余弦随着角度的增大而减小. 锐角相等，则相对应的三角比的值相等. 题型探究 题型一、特殊三角比值 【例1】（1）如图，在中，，，BC = a．求的三角比的值． A B C 【答案】，，，． 【解析】∵， ∴，， ，． 【总结】本题主要考查特殊角角的三角比的值． （2）如图，在中，，，BC = a．求的三角比的值． A B C 【答案】，，， 【解析】∵ ∴，， ，． 【总结】本题主要考查特殊角30°，60°角的三角比的值． （3）填空： tan 60°= ______；cot 45°= ______；sin 30°= ______；cos 45°= ______． 【答案】，，， 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值． 题型二、根据三角比值求角度 【例2】用特殊锐角的三角比填空： （1）______ = ______； （2）______ = ______； （3）______ = ______； （4）______ = ______． 【答案】（1）sin 30°，cos 60°；（2）sin 45°，cos45°； （3） tan45°，cot 45°；（4）sin 60°，cos30°． 【解析】主要考察特殊角的锐角三角比值． 【例3】求满足下列条件的锐角： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意可得：，则； （2） 由题意可得：，则． 举一反三 1.若，则=______； 【答案】60°． 【解析】主要考查特殊角的锐角三角比的值． 2.若，则=______． 【答案】45°． 【解析】主要考查特殊角的锐角三角比的值． 3.若，则锐角的度数是______． 【答案】15° 【解析】∵，∴，∴，∴． 4.（2021·西安市第八十六中学九年级期末）在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（ ） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化 【答案】D 【解析】如图，cosA=， 根据分数的基本性质，得 =， ∴余弦值不变， 故选D． 5．（2020·湖南）在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【解析】解：由已知，， ∵ ∴ ∵∠C=90° ∴=45° 故选：C 题型三、特殊锐角三角比的值的应用 【例4】（计算）（1）（2019·上海浦东新区·）计算：． 【答案】2 【解析】原式= = =2. （2）（2021·上海九年级专题练习）计算：. 【答案】. 【解析】 解：原式 . （3）（2021·湖南九年级三模）计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． （4）（2019·上海九年级期中）计算：； 【答案】2 【解析】 解： 【例5】（比大小）（1）（2021·浙江九年级一模）已知是锐角三角形，若，则（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC， 则∠C＞∠B， 则sinB＜sinC． 故选：B． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （2）（2020·上海炫学培训学校有限公司）比较大小：________． 【答案】 【解析】 ， ， 故答案为：． 【例6】（判断三角形形状）（2021·上海九年级一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解析】 ∵ ，， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴ ∠A＋∠B＝90°， ∴ 这个三角形一定是直角三角形， 故选：D． 举一反三 1．（2021·湖南株洲市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 解：∵∠A＝30°， ∴． 故选：A． 2．（2021·广东深圳市·中考真题）计算的值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】 故选C． 3．（2021·天津中考真题）的值等于（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】解：由题意可知，， 故选：A． 4．（2021·湖南九年级一模）在△中，若，则的度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解析】 ， 故选D 5．（2021·上海九年级一模）计算：_____________