7.2 空间几何体积与表面积（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

7.2 空间几何体积与表面积（精讲） 一．空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 3.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等， 垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 三．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 四．直观图 1.画法：常用斜二测画法. 2.规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 五．平面有关的基本事实及推论 1.与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2.基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 六．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂α 一.空间几何体表面积的求法 1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 二.求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解； (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体； (3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积. 三．立体中的截面、截线 1.作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．　 2.作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 四．证明点或线共面问题的2种方法 1.先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； 2.直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明线共点问题的常用方法;先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．　 考法一 基本立体图形 【例1-1】（2023春·河北石家庄）（多选）下列说法中不正确的是（    ） A．正四棱柱一定是正方体 B．圆柱的母线和它的轴不一定平行 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．以直角三角形的一边所在直