7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲） 一．直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. 2.判定定理与性质定理 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 二．平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 三．三种平行关系的转化 四．直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 五．平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 六．三种垂直关系的转化 一．判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义(无公共点). （2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直 ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法． ⑤线面平行的性质定理 （3） 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). （4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). 二．证明面面平行的常用方法 1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 三．平行关系中的三个重要结论 1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. 2.平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 四．必背常用结论 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． 4．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 5．同一条直线与两个平行平面所成角相等． 6．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 7． 垂直于同一条直线的两个平面平行 8． 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行． 五．证明线面垂直常用的方法 1.判定定理：线面垂直→线线垂直 2.垂直于平面的传递性 3.面面垂直的性质. 4.线面垂直的定义 六．三个重要结论 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 3垂直于同一条直线的两个平面平行. 考法一 线面平行 【例1-1】（2023浙江省）如图，正三棱柱中，点为的中点，求证：平面    【例1-2】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为棱的中点.，证明：平面       【例1-3】（2023·海南）如图，在四棱锥中，，，M是棱上一点，若，求证：平面    【例1-4】（2023·福建）如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，且，求证：平面