24.7向量的线性运算 学案 2022—2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.7向量的线性运算 学习目标： 1、知道向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，会画图 表示简单的线性线性运算结果。 2、 知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量用 给定的两个不平行向量的表示出来 3、体会数形结合的数学思想，学习化归思想。 学习过程： 要点一、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义： 一般地，设n为正整数，a为向量，我们用na表示n个a相加；用 -na表示n个-a相加.又当m为正整数时，”ā表示与a同向且长度为 品a的向量。 要点诠释： 设P为一个正数，Pa就是将a的长度进行放缩，而方向保持不变； -Pa也就是将a的长度进行放缩，但方向相反， 2.向量数乘的定义 一般地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka, 它的长度与方向规定如下： (1)如果k≠0，且a≠0时，则： ①ka的长度：|ka曰k‖a；②ka的方向：当k>0时，ka与a同 方向；当k<0时，ka与a反方向； (2)如果k=0,或a0时，则：ka=0,ka的方向任意. 实数k与向量ā相乘，叫做向量的数乘】 试一试1： 如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量 a和的起点、终点都是小正方形的项点，如果c=58,求作并写 出c的模（不用写作法，只要所求作向量）。 6 探索2： 已知两个不平行的向量a,五. 0 求作：a+-(ga-2西. 提示： 先化简，再选择适当的方式画出结果。 探索3： 如图，点M是△CAB的边AB的中点.设CA=a,CB=b,试用a,b.的线性 组合表示向量CM。 M 讨论：多种方法解题 试一试2： 如图，已知四边形ABCD,点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB 的中点， 设BC=a,DA=b; 试用a、6的线性组合表示向量PO;(需写出必要的说理过程)》 向量的线性运算 例题.(1)3(a-b)-2(a+26): (2)2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b -2c) 【答案与解析】 解：(1)原式=(3a-36)+(-2)a+(-2)26 =3a-3b-2a-4b =a-7b (2)原式=2(2a)+2(6b)-2(3c)+(-3)(-3a)+(-3))(4b) +(-3)(-2c) =(4a+12b6c)+9a-12b+6c =(4+9)a+(12-12)b+(-6+6)c =13a 举一反三： 【变式】计算：(1)(-3)×4a; (2)3a+b)-2a-b)-a; 【答案】 解：(1)原式-12a; (2)原式=56. 例题4.己知向量a和向量b,求作向量ā-26. 【答案与解析】 解：如图，在平面内任取一点0，作OA=a,0B=2b,则 BA=OA-OB=a-2b 即BA即为所 求 B 【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数 形结合思想的应用， 举一反三： 【变式】已知向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向南航行1km”, 则向量a+b表(). A.向东南航行2kmB.向东南航行2km C.向东北航行2km D 向东北航行2km 【答案】A 例题5.如图，己知AB∥CD,AD与BC相交于点O,且B2 CD 3 (1)求0的值. AD (2)如果0=a,请用表示D, 8 【答案与解析】 解：(1)：AB∥CD, ,'.△AOB∽△D0C,