24.7向量的线性运算 课件 2022—2023学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.7向量的线性运算 教学目标： 1.掌握数乘向量的定义运算及其几何 意义. 2.理解两个向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何 意义. 实数与向量相乘 知识回顾 1、实数与向量相乘的运算： 设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量， 记作ka. 如果k≠0，且a≠O,那么k的长度kd=k: ka的方向：当k>0时，ka与d同方向：当k<0时，ka与a反方向. 如果k=0或a=0,那么ka=0. 根据实数与向量相乘的意义，可知kaIa. 注 (1)k也表示实数k与d向量相乘的运算，规定应把实数写在向 量前并省略乘号： (2)注意不要将表示向量的箭头写在数字上面 2、实数与向量相乘满足的运算律：设m、n为实数，则 (1)实数与向量相乘的结合律：m(na)=(mn)a (2)实数与向量相乘对于实数加法的分配律：(m+n)a=ma+na (3)实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a+b=ma+mb. 3、平行向量定理： 如果向量b与非零向量平行，那么存在唯一的实数m, 使i=ma. 4、单位向量： 长度为的向量叫做单位向量，设e为单位向量，则-1. 单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同 对于任意非零向量a,与它同方向的单位向量记作a,则有： 新知学习 一、数乘向量的定义 我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量 特别地，给定一个向量a,3个a相加a+a+a的结果，是一个模为3a、方向与a相同的 向量，如下图所示，通常这个向量简记为3a,a+a+a=3a 3个-a相加(-a)+(-a)+(-a)的结果，是一个模为3a、方向与a相反的向量，如 下图所示，通常这个向量简记为-3a,即(-a)+(-a)+(-a)=-3a. 思考你能根据上述实例，给出实数与任意一个向量α的乘积λa的定义吗？ 一般地，给定一个实数入与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量，记作a,其 中： (1)当Ao且a0时，1a的模为a,而目Aa的方向如下： ①当λ>O时，与a的方向相同： ②当1<O时，与a的方向相反， (2)当1=O或a=0时，1a=0. 上述实数λ与向量α相乘的运算简称为数乘向量， 由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行）， 即λa∥a;数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小， 特别地，一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积，即-α=(-1)a. 怎样理解数乘向量？ 可从两个角度看数乘向量： (1)代数角度：①入是实数，a是向量，它们的积仍是向量；②1a=0的条件是1=0或a=0. (2)几何角度：当>1时，表示向量α的有向线段在原方向（1>0)或反方向（1<0)上 伸长为原来的倍；当<1时，表示向量α的有向线段在原方向(>0)或反方向(1<0) 上缩短为原来的入： 实数与向量相乘 例1.（易已知非零向量a、6之间满足。=-3，下列判断正确的是(） A.a的模为3 B.a与6的模之比为-3：1 C.d与6平行且方向相同 D.。与6平行且方向相反 【答案】D 【解析】A、由a-36,得a=3方，故A错误， B、由a=-36,得a1=31,a:161=3:1,故B错误： c、由a=36:得a=-36方向相反，故c错误： D、由。=3方，得。-3平行且方向相反，故D正确，