第一章 特殊的平行四边形 小结与复习（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（北师大版）

第一章 特殊的平行四边形 小结与复习 优翼数学教学课件（BS）九上 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 要点梳理 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 二、菱形、矩形、正方形的判定方法 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分). 又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴ AB = BD = 6， A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形. 针对训练 A B C O D 2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下： 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F. 由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形. 则 S□ABCD = AD · CF = AB · CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 例2 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O， ∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长. 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD (矩形的对角线相等)， OA = OC = AC，OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴ OA = OD. A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. 又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)， ∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵ AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OC = OD. ∴四边形 AODE 是菱形. 【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形. D A B C E O 3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积. 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB