专题10 数列（解答题）-大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（江苏专用）

大数据之十年高考真题（2014-2023）与优质模拟题（江苏地区） 专题10数列（解答题） 1．【2023年新高考1卷20】设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 2．【2023年新高考2卷18】已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 3．【2022年新高考1卷17】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 4．【2022年新高考2卷17】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． (1)证明：； (2)求集合中元素个数． 5．【2021年新高考1卷17】已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 6．【2021年新高考2卷17】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 7．【2020年山东卷18】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 8．【2020年江苏卷20】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ–k”数列． （1）若等差数列是“λ–1”数列，求λ的值； （2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由， 9．【2020年海南卷18】已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 10．【2019年江苏20】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”． （1）已知等比数列{an}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{an}为“M﹣数列”； （2）已知数列{bn}（n∈N*）满足：b1＝1，，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{cn}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值． 11．【2018年江苏20】设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列． （1）设a1＝0，b1＝1，q＝2，若|an﹣bn|≤b1对n＝1，2，3，4均成立，求d的取值范围； （2）若a1＝b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1对n＝2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）． 12．【2018年江苏26】设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in的一个逆序，排列i1i2……in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求f3（2），f4（2）的值； （2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）． 13．【2017年江苏19】对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k＝2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”． （1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”； （2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列． 14．【2016年江苏20】记U＝{1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST．例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30． （1）求数列{an}的通项公式； （2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1； （3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD． 15．【2015年江苏14】设向量（cos，sincos）（k＝0，1，2，…，12），则（ak•ak+1）的值为　　　　． 16．【2015年江苏20】设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：，，，依次构成等比数列； （2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+