2023年中考数学备考专题讲义：方程（组）和函数中的解题模型与方法

方程（组）和函数中的解题模型与方法 命题人：中学升学考试与预测组 【解题模興与方法】 一、所谓分类讨论思想，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按 某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题 的解 决。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 二、运用分类讨论思想解题的基本步骤： (1)明确讨论对象：即对哪个参数进行讨论： (2)对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重不漏、标准要统一、分层不越级）： (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决： (4)归纳总结：将各类情况总结归纳。 分类讨论思想在方程、不等式、函数中的应用主要体现在对参数的讨论上，研究方程的 根、不等式的解集、参数范围，研究量与量之间的大小关系及函数的单调性等。 一、利用分类讨论解决方程的问题 1对字母系数的取值范围问题，首先要引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次 方程，故要考虑是一次方程的可能。 2.字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题日的条件。一般设问方式有两种(1)前置 式，即“二次方程”：(2)后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可 忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。 三、利用分类讨论解决函数的问题 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论。另外，数学的一些结 论、公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别"情况未必 成立，这也是造成分类讨论的原因。因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。 分论讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方而恰当分类可避免丢 值漏解。 【典型例题】 例1.已知关于×的方程x2.(2k-3)x+k2+1=0. (1)当k为何值时，此方程有实数根： (2)若此方程的两实数根X1,X2满足(X1-X2)2=2,求k的值 【分析】(1)根据根的判别式的意义得到当△=(2k-3)24(k2+1)≥0时，方程有实数 根，然后解不等式即可： (2)根据根与系数的关系得到x1十x2=2k-3,X1X2=k2+1,变形(x1-x2)2=2得(x1+x2)24x1 x=2,所以(2k-3)2.4(k2+1)=2,然后解方程即可. ks5 解：(1)△=(2k-3)4(k+1)≥0，解得12 (2)根据题意得X1+X2=2k-3,x1x2=k2+1, ,(X1-X:)2=2, .(X1+X2)2-4xX2=2, .(2k-3)2.4(k2+1)=2, ..k=I 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式A=b2.4ac:当A>0,方程有 两个不相等的实数根：当△=0，方程有两个相等的实数根：当△<0，方程没有实数根 常考经典考题同步检测 考试范围：方程（组）和函数：考试时间：100分钟 一.选择题（共8小题） 1.已知y关于x的函数y=x2-mx-1(m为实数)，当0s2时，23m+1恒成立，则m的取值范 围为() AK号 B.-2W7-6≤m≤2V7-6 c-27-6KK号 D.K 2.若一次函数y=+b(0)在-3x2的范围内y的最大值比最小值大5，则下列说法正确的是 () A.k的值为1或-1 B.y随x的增大而减小 C.该函数的图象不可能经过第一、二、四象限 D.满足题意的函数表达式只有2个 3.已知抛物线y=m2+b+c(a≠0)交x轴于点A(1,0),B(3,0).P1(x1,y1),P2(x2,2) 是抛物线上两个点，若1-2>2·2>1，则下列结论一定正确的是() A.y<y B.y1>y'2 C.lyil<yl D.lyl>y 4.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根，则a满足() A.a21且a时5 B.a21 C.a>1且af5 D.a时5 5.对于两个不相等的有理数a,b,我们规定符号ma{a,b}表示a,b两数中较大的数，例如m {2,4}=4,ma{-2,-4}=-2.按照这个规定，那么方程mxx,5x}=2+6的解为() A.x=2 B.x=3或x=-6C.x=2或x=-6D.x=3 6.如图，等腰直角三角形△OAB的边OA和矩形OCDE的边OC在x轴上，OA=4,OC=1,OE =2.将矩形OCDE沿x轴正方向平移t(t>0)个单位，所得矩形与△OAB公共部分的面积记为 S(t).将S(1)看作t的函数，当自变量t在下列哪个范围取值时，S()是t的一次函数() D A.1<t<2 B.2<t<3 C.3<t<4 D.1<<2或4<t<5 2 a-b a>b 7.定义运算“※”：a※b= 若3※x=1,则x的值为() 2,a<b b- A.