第07讲 函数的奇偶性-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲 函数的奇偶性 【人教A版2019】 ·模块一 奇偶性的判断 ·模块二 奇偶性的应用 ·模块三 单调性与奇偶性综合 ·模块四 课后作业 模块一 奇偶性的判断 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．判断函数的奇偶性的一般方法： (1)定义法：f(x)定义域关于原点对称 ①若f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数. ②若f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数. (2)图象法：关于坐标原点对称的函数为奇函数，关于y轴对称的函数为偶函数. (3)四则运算： 奇±奇=奇；偶±偶=偶； 奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇； 奇÷奇=偶；奇÷偶=奇；偶÷偶=偶；偶÷奇=奇. 【考点1 判断函数的奇偶性】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中是偶函数的是（    ） A．， B． C． D．， 【例1.2】（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（    ） A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 模块二 奇偶性的应用 1．函数奇偶性的应用 函数奇偶性的主要应用有三个方面： (1)利用函数的奇偶性求值； (2)利用函数的奇偶性求参数； (3)利用函数的奇偶性求解析式； 2．利用函数的奇偶性求值、解析式的方法 求函数值、函数解析式：根据题目条件，利用函数的奇偶性，进行转化求解. 3．利用函数的奇偶性求参数的方法 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. 【考点2 利用奇偶性求值】 【例2.1】（2023春·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【例2.2】（2022秋·广东梅州·高一校考期中）已知是上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·高一课时练习）已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A． B．2 C．1 D．3 【变式2.2】（2023·高一课时练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用奇偶性求参数】 【例3.1】（2023春·云南大理·高一统考期末）若为奇函数，则（    ） A．1或 B．1 C．0 D． 【例3.2】（2023秋·山东滨州·高一统考期末）已知函数是奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·高一课时练习）已知函数为奇函数，则（　　） A．－1