第69讲 圆锥曲线中的定点问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第69讲 圆锥曲线中的定点问题 题型一 圆锥曲线中的直线过定点问题 例1、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点. 变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆：的左焦点为，且离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标． 变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点. (1)求C的方程； (2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 题型二 圆锥曲线中的圆过定点问题 例2、（2023·江苏南通·统考一模）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3. (1)求的方程； (2)证明：以为直径的圆经过定点. 变式1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知椭圆为椭圆的左､右焦点，焦距为，点在上，且面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若存在该定点，请求出的值；若不存在，请说明理由. 变式2、（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 题型三 、 圆锥曲线中的椭圆过定点问题 例3、（2021·河北石家庄市高三二模）已知直线：与椭圆：相交于，两点，， （1）证明椭圆过定点，并求出的值； （2）求弦长的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第69讲 圆锥曲线中的定点问题 题型一 圆锥曲线中的直线过定点问题 例1、（2023·山西·统考一模）双曲线的左、右顶点分别为，，焦点到渐近线的距离为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于，两点，且，证明直线过定点. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】(1)根据双曲线过点和焦点到渐近线的距离为列出方程组，解之即可； (2)设直线的斜率为，由题意直线的斜率为，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出，两点的坐标，再求出，两点所在的直线方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线可得渐近线为， 不妨取渐近线即 由焦点到渐近线的距离为可得，即 由题意得，得， 从而双曲线的方程为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 由题意可知：直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 联立直线与双曲线方程得， 于是，从而，从而， 于是， 从而， 化简得，从而过定点. 变式1、（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知椭圆的右顶点为A（2，0），右焦点F到右准线l的距离为3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点F和T（7，0）的圆与直线l交于P，Q，AP，AQ分别与椭圆C交于M，N.证明：直线MN经过定点. 【解析】 (1)由题意知，，设椭圆的焦距为，则，解得，所以，，所以，椭圆C的标准方程 (2) 设直线的方程为：. 由，得，设， 则，. 所以，，， 因为直线的方程为：， 令，得，所以，，同理可得， 以为直径的圆的方程为：， 即， 因为圆过点，所以，，得，代入得 ，化简得， ，解得或(舍去) 所以直线经过定点 变式2、（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））已知椭圆：的左焦点为，且离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点，直线（不经过点）与椭圆相交于，两点，与交于点，设直线，，的斜率分别为，，，且．证明：直线过定点，并求出该点的坐标． 【解析】 (1)由题设，，又，，可得，， 则椭圆的方程为. (2)由题意，设直线为，，，则， 所以，，． 联立直线与椭圆有，整理得， 由得：，，． 而，又， 则，整理得， 当时，，过定点，此时才满足题设，不符合； 当时，，过定点，符合． 故直线过定点． 变式3、（2022·广东佛山·高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点. (1)求C的方程； (2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)见解析