第68讲 圆锥曲线中的离心率问题（微专题）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第68讲 圆锥曲线中的离心率问题 题组一、由概念与性质求圆锥曲线离心率值的问题 例1、（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2、（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________. 题组二、由等量关系求圆锥曲线中离心率值的问题 例2、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 变式1、（2023·安徽·统考一模）已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是__________. 变式2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线 上，且满，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 题组三、由不等关系求圆锥曲线中离心率的范围问题 例3、（2023·云南玉溪·统考一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆与抛物线的公共点，，关于轴对称且位于轴右侧，，则椭圆的离心率的最大值为______． 变式1、（2023·广东茂名·统考一模）已知直线与双曲线交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若的内心到y轴的距离不小于，则双曲线C的离心率取值范围是______. 变式2、（2023·广东汕头·统考一模）过双曲线上的任意一点，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点，若，则双曲线离心率的取值范围是___________. 题组四、由存在性求圆锥曲线中离心率的范围问题 例4、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为(-c，0)，(c，0)，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 变式2、（2023·广东·统考一模）已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3、（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第68讲 圆锥曲线中的离心率问题 题组一、由概念与性质求圆锥曲线离心率值的问题 例1、（2023·广东梅州·统考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线（，）的渐近线的方程为， 双曲线两条渐近线方向向下的夹角为， 根据双曲线两条渐近线对称关系可得的倾斜角为， 则，则， ， 则该双曲线的离心率为， 故选：D. 变式1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q在椭圆C上，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则点P是以为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在第一象限，如图 连接，令，则，，． 因为，所以，即，得