重难点06球的切、接问题及截面、翻折问题（3种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点06球的切、接问题及截面、翻折问题（3种考法） 【目录】 考法1：球的切、接问题 考法2：截面问题 考法3：翻折问题 二、命题规律与备考策略 一、外接球题型归类： （1）三线垂直图形 计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体 （2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型： ①三棱锥对棱相等．，，，是三个对棱棱长． ②等边三角形与等腰直角三角形连接． ③投影为矩形． （3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）． 计算公式；其中 （4）面面垂直型 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型 （5）垂线相交型 等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心． 直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合． 二、求多面体的外接球的半径，常用方法有： （1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； （3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 三、立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 考法1：球的切、接问题三、题型方法 一．选择题（共4小题） 1．（2023•嘉定区二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1，与该正方体每条棱都相切的球半径为R2，过该正方体所有顶点的球半径为R3，则下列关系正确的是（　　） A．R1：R2：R3＝：2 B．R1+R2＝R3 C．+＝ D．+＝ 2．（2023春•浦东新区校级期中）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（　　） A． B． C． D． 3．（2022秋•普陀区校级期中）已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面α截球O和圆锥所得的截面面积分别为S1，S2，若S1＝，则S2＝（　　） A．2 B． C． D．2 4．（2023•虹口区校级三模）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为1，P、Q为底面圆周上任意两点．有以下三个结论： ①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥O﹣SPQ体积的最大值为；③四面体SOPQ外接球表面积的最小值为9π． 以上所有正确结论的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共5小题） 5．（2023春•杨浦区校级期末）如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为 　　． 6．（2023•徐汇区校级三模）在VABC中，AC＝2，顶点B在以AC为直径的圆上．点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的半径为 　　． 7．（2023•嘉定区模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝，BC＝3，点P在棱BB1上，且PA⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 　　． 8．（2023春•浦东新区校级期中）已知在四面体V﹣ABC中，VA＝VB＝VC＝2，AB＝1，，则该四面体外接球的表面积为 　　． 9．（2022秋•金山区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1，直线PA与平面ABCD成45°角．设四面体PBCD外接球的圆心为O，则球的体积为 　　． 考法2：截面问题 一、单选题 1．（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　） A． B．4 C