专题12 导数及其应用-2023年高考数学真题题源解密（全国卷）

2023年高考数学真题题源解密（全国卷） 专题12 导数及其应用 目录一览 ①2023真题展现 考向一 导数与切线问题 考向二 导数与函数单调性 考向三 导数与函数的极值、最值 考向四 利用导数证明不等式 ②真题考查解读 ③近年真题对比 考向一 导数与函数的极值、最值 考向二 导数与函数单调性与切线问题 考向三 导数与函数的零点 考向四 利用导数证明不等式 ④命题规律解密 ⑤名校模拟探源 ⑥易错易混速记 考向一 导数与切线问题 一、单选题 1．（2023·全国甲卷文数第8题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 考向二 导数与函数单调性 一、解答题 1．（2023·全国乙卷文数第20题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 考向三 导数与函数的极值、最值 一、解答题 1．（2023·全国乙卷理数第21题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 考向四 利用导数证明不等式 一、解答题 1．（2023·全国甲卷文数第20题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 2．（2023·全国甲卷理数第21题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【命题意图】 1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 3．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 【考查要点】 （1）利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。 （2）导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力。文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。 【得分要点】 高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。 中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用。 考向一 导数与函数的极值、最值 一、单选题 1．（2022·全国乙卷文数第11题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国甲卷文数第8题/理数第6题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2021·全国甲卷文数第12题/理数第10题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2022·全国乙卷理数第16题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 考向二 导数与函数单调性与切线问题 一、解答题 1．（2022·全国甲卷文数第20题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 2．（2021·全国乙卷文数第21题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 3．（2021·全国甲卷文数第20题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围. 考向三 导数与函数的零点 一、解答题 1．（2022·全国乙卷文数第20题）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 2．（2022·全国乙卷理数第21题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围． 3．（2022·全国甲卷理数第21题）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 4．（2021·全国甲卷理数第21题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 考向四 利用导数证明