2023年中国数学竞赛国家集训队第一轮选拔考试试题

2023年国家集训训队第一轮选拔考试试题解析 2023年3月，国际数学奥林匹克中国国家队的第一轮选拔在成都嘉祥外国语 高级中学举行.本次试题新颗有趣，值得思考与研究.因作者水平有限，不当之处在 所难免.请读者不吝赐教 I.试题 1.设整数n≥2，A1A2·A2m是圆内接凸2n边形.已知形内存在一点P.满 足 ∠PA1A2=∠PA2Ag=·=∠PA2nA1 求证： lA2-1A=ΠlA2A2+ 其中A2n+1=A1 2.某次聚会有n个人参加.已知其中共有不超过n对朋友，且两人握手当且 仅当他们有公共朋友，设整数m≥3，且满足n≤m3.求证：存在一个人A,A握 过手的人数不超过A的朋友数的m-1倍. 3.(1)设a,b为互质的正整数.求证：存在实数入，B,使得对任意正整数m,均 有 Am- 三{}借}sm+a (2)求证：存在正整数N,使得对任意质数p>N,若正整数a,b,c满足p不整 除(a+b)b+c(c+a),则至少存在[]个1≤≤p-1,使得 }++{}s1 修订日期：2023-06-20. 4.对正整数m,n,记 S(m,n)={(a,b)∈N|1≤a≤m,1≤b≤n,gcd(a,b)=1}. 求证：对任意正整数d.r,存在不小于d的整数m,n,使得 S(m,n)川≡r(modd: 5.设乃，·，Pn是△ABC内的点，满足P,·,Pm,A,B,C中任意三点不共 线.求证：可以将△ABC划分为2+1个小三角形，使得每个小三角形的顶点都 来自B,·,Pn,A,B,C,且含A.B.C中至少一个的小三角形不少于n+m+1 个 6.求证：(1)在复平面中，每条过原点的直线（实轴除外）上至多有一点之，使 得中器是实数 (2)对任意非零复数a和任意实数0，方程1+23+az64=0在 n={CRe(e9≥lcos0} 中都有根。 7.给定整数n≥2及与n互质的整数a.一个国家有n座小岛D1,D2,·, Dn,对任意1≤i≠j≤n,D:到D,有单向轮渡当且仅当访三ia(modn).一个 游客初始时可以坐飞机到达任意一个小岛，之后只能乘坐单向轮渡.问：他最多可 以游览多少座小岛？ 8.在非等腰锐角△ABC中，AP,BQ,CR是高，H是垂心.A1是BC的中点， AA1交QR于点K,QR交过A且平行于BC的直线于点D,AH的中点与K的 连线交DA1于点A2.类似定义点B2,C2.已知△A2B2C2非退化，其外接圆为w. 求证：存在w内与之相切的圆A,B,C,满足： (1)圆A'与AB,AC相切、圆B与BC,BA相切、圆C与CA,CB相切： (2)A,B,C”不同且共线 9.求最大的正整数m,使得可以将一个70×70方格表中的一些格染红满足： (1)不存在两个红格，它们所在行中红格数相同，所在列中红格数也相同： (2)存在两行中恰有m个红格 10.称非空整数集A是“优美的”，如果对任意a∈A,1≤k≤2023，集合 {∈A:[]=[} 的元素个数恰为2.求证：若整数集S与任意优美集合的交非空，则S包含一个 优美的集合 2 11.设n是正整数，ak∈{-1,1}(1≤i,,k≤n).求证：存在1，…，xn h,…,m,1,·,m∈{-1,1}，使得 ∑ΣΣ n2 ijkTiVj=k > 31 i=1j=1k=1 12.求证：存在正实数入，使得对任意实数D>1,在平面直角坐标系中都存 在一个锐角三角形，满足： (1)三角形的顶点均为整点； (2)三角形的边长均大于D; (③)三角形的面积小于D2+D. Ⅱ.解答与评注 1.设整数n≥2，A1A2·…A2m是圆内接凸2n边形.已知形内存在一点P.满 足 ∠PA1A2=∠PA2Ag=··=∠PA2nA1. 求证： IAal-ⅡAA+ 其中A2m+1=A A[2o1 B(2]e A 1 B[2a] 证明延长A1P,A2P,·,A2nP分别交圆与B1,B2,·,B2m,设圆心为O. 不妨设A1A2…A2m按顺时针排列，设a=∠PAA2=∠PA2Ag=…= ∠PA2mA1.则对任意1≤i≤2m,∠B,OA+1=2∠PA:A+1=2a(下标mod2m考 虑，下同)，故B1B2·B2m是A2Ag·A2mA1绕O顺时针旋转2a所得多边形，故 AA+1=|B:-1B 3 又因为对任意1≤i≤2m,△A:A+1P~△B+1B,P,故 |A:A+1 AiP A+Pl BiBi B+PI B;Pl 因此 IA2 Aatil 1A2-1A2 A2i-1A2i B2iB2i-1 A-P= =1 =1 =1 B2:P =1 =Π A21-1A2i-2 B21-2B2i-1 故 ΠlAi-iA=Π+i 得证！ 口 评注本题是一道筒单的几何题，将多边形反演后，发现恰好可以由原多边形 旋转得到，然后导边的比例即可. 2.某次聚会有n