清华大学新领军2023年8月学科综合能力测试（TACA）丘成桐数学零试试题

第1页（共 3 页） 2023 年 8 月学科能力综合测试 (TACA) 丘成桐数学零试试题 题 1. 在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从 A 到 Z 的路径数为 . 题 2. 对一个复方阵，定义 cosA = I + ∞∑ n=1 (−1)n (2n)! A2n. 记矩阵 cos ( −5π 3π −10π 6π ) 的第二行 第一列元素为 x，则 [|x|] = . 题 3. I = lim n→∞ ∫ 2023 1 cos4(nx+ n!)dx，则 [100I] = . 题 4. 设 g(x) = ∫ π x (sin t)5 t dt，记 S = ∫ π 0 g(x)dx，则 [100S] = . 题 5. n×n矩阵 An 的主对角元素为 n，其余元素为 1. 已知多项式 f(x)满足 f(An) = O 对任意 1 6 n 6 100 均成立，则 degf 的最小值为 . 第2页（共 3 页） 题 6. 矩阵  10 −9 −9 −9 10 −9 −9 10 −9 −9 10 −9 −9 10 −9 −9 10 −9 −9 10 −9 −9 −9 10  的特征值为 λ1 6 λ2 6 · · · 6 λ8，则 [λ6] = . 题 7. 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球. 接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然 后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球. 记 Sn 为前 n 次中摸出黑球 的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 S100 的期望为 E，则 [E] = . 题 8. 对矩阵 M(t)，定义其微分 ddtM(t) = B(t)，其中 d dtMij(t) = Bij(t). 矩阵微分方程 d dtM(t) = AM(t), 其中 A =  2 1 3 1 3 2 3 2 1  , M(0) =  3 2 1 2 1 3 1 3 2  , 令 a = ln |detM(2)|, 则 [|a|] = . 题 9. 5 级方阵 A 满足：第一行元素均为 1，第二行元素从左至右依次为 1,−1, 1,−1, 1， 且 trace(AA′) = 28. 记 detA 的最大值为 M，则 [M ] = . 题 10. 对 n = 5，令 Ln = 1n! dn dxn (x 2 − 1)n，S = ∫ 1 −1 |Ln| 2dx，则 [|S|] = . 第3页（共 3 页） 题 11. 正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为 . 题 12. A(x) = ∞∑ m=1 ∞∑ n=0 m!·xm·n! (m+n+1)! ，则 [100A(2 3 )] = . 题 13. 将方程 (1 + 2 + · · · + k)− 3(1 + 2 + · · · + t) = 1 的全体正整数解 (k, t) 按照从小 到大的方式排列，得到序列 {(kn, tn)}，则 k6 = . 题 14. I = ∫ π/4 0 tan101 xdx，则 [ 1 3I ] . 题 15. Mn = {A | A是n级实对称矩阵, 且元素取自0,±1,±2}，记 an为所有 trace(A6)(A ∈ Mn) 的平均值，a = lim k→∞ supn>k ann4，则 [a] = . 2023 年 8 月学科能力综合测试 (TACA) 丘成桐数学零试试题及解析 1 题 1. 在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从 A 到 Z 的路径数为 . 解析： 54 如图所示，每个节点处的红色数字表示从 A 到该点的路径数. 题 2. 对一个复方阵，定义 cosA = I + ∞∑ n=1 (−1)n (2n)! A2n. 记矩阵 cos ( −5π 3π −10π 6π ) 的第二行 第一列元素为 x，则 [|x|] = . 解析： 20 令 M = ( −5π 3π −10π 6π