第36讲 排列组合二项式定理讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第36讲排列组合二项式定理 一.基础知识回顾 (一)排列组合 1.排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤)个元素的所有不同排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号表示。 2.排列数公式的两种形式：(1)Amn三 (2)Amn= 其中公式(1)（不带阶 乘的)主要用干计算：公式(2)（阶乘形式）适用干化简、证明、解方程， 说明：①n!= 叫做n的阶乘：②规定0！=： ③当m=n时的排列叫做全排列.全排列数Ann= 3.组合的定义：从n个不同元秦中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的 个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示， 4.组合数公式的两种形式：(1)Cmn= (2)Cmn=n!m！(n-一m)!其中公式(1)主要用干计算.尤其适用干上标是具体数且m ≤2的情况.公式(2)适用于化简、证明、解方程等. 5.Cmn=Ckn m、k∈N.n∈N 6.组合数的两个性质：(1)Cmn=Cn-mn.(2)Cmn+1=Cmn+Cm-一1n. (二)二项式定理 l.二项式定理(a十b)n= 这个公式所表示的 定理叫做二项式定理.右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中的系数(r=0. 1.2..n)叫做 式中的 叫做二项式展开式的第r十1项（通 项).用Tr+1表示，即展开式的第r+1项：T+1=】 2.二项展开式形式上的特点：(1)项数为(2)各项的次数都等干二项式的幂指数， 即a与b的指数的和为n.(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直 到雾：字母b按排列.从第一项起.次数由逐项增1直到n.(4)二项式的系数从 C0n.C1n,-直到Cn-1n,Cnn. 3.二项式系数的性质 (1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 相等 (2)如果二项式的幂指数是偶数 的二项式系数最大：如果二项式的幂指数是奇 数 的二项式系数相等并且最大 (3)二项式系数的和等干 即 (4)二项式展开式中.奇数项的二项式系数的和等干偶数项的二项式系数的和，即C0十 C2n+..=C1n+C3n+.= 二.典例精析 题型一：排列应用题 例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数： (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置： (2)全体排成一行.其中甲不在最左边.乙不在最右边： (3)全体排成一行.其中男生必须排在一起： (4)全体排成一行.男、女各不相邻： (5)全体排成一行，男生不能排在一起： (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变： (7)排成前后两排.前排3人，后排4人： (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人。 变式迁移1：六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端：(2)甲、乙必须相邻：(3)甲、乙不相邻： (4)甲、乙之间恰间隔两人：(5)甲、乙站在两端：(6)甲不站左端，乙不站右端 题型二：组合应用题 例2：男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛.在下列 情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名：(2)至少有1名女运动员： (3)队长中至少有1人参加：(4)既要有队长，又要有女运动员. 变式训练2：甲、乙两人从4门课程中各选修2门. (1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？ (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？ 题型三：排列组合综合问题 例3：4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球.共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？ 变式训练3：按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份.1份1本.1份2本，1份3本： (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本 (3)平均分成三份.每份2本： (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本：(5)分成三份.1份4本，另外两份每份1本： (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本： (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本. 题型四：二项式展开式的特定项 例4：如果1avs4 aNcol(x2-1f(1x3)n的展开式中，第四项和第七项的二项式系数相等. 求： (1)展开式的中间项：(2)\alvs4\al小co1(r(x4x)n-1展开式中所有的有理项 变式训练4：(1)若(1十x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍.求n: (2)已知(ax十1)7(a≠0)