第34讲 极坐标与极坐标方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

极坐标 一.基础知识回顾 1.平面直角坐标系：设点Px,)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换： 的 作用下，点P(x,)对应到点Px',y'),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 称伸缩变换. 2.极坐标系的概念：在平面上取一个定点O,叫做：自极点O引一条射线Ox,叫做 再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方 向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个 .设M M 是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M 的_，记为P:以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的，记为6有序数对(P,)叫做点M 的，记作】 0234 3.极坐标和直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极 点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标为(，)，则它们之间的关系为x= y= 另一种关系为：p2= ，fam0 4.简单曲线的极坐标方程：(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 p(p,)=0,并且坐标适合方程o(p,)=0的点都在曲线上，那么方程o(p,)=0叫做曲线 的 (②)常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 6 e=0≤0<2π) p=2rcos aaws4alicol(- 圆心为0)，半径为r的圆 0G.0 fπ元2) 圆心为\a\vs4\al\col(r,V ) p=2sin00≤0<π f(π2)，半径为r的圆 (1)0=ap∈R)或0=元+a(p∈R) 过极点，倾斜角为α的直线 (2)0=a和0=x十a 过点(a,0),与极轴垂直的直线 pcos 0=aavs4\al col(-f(2) 0a,0)￥ (a,) 过点avs4al\col(a,V psin 0-a(0<<x) f(π2))，与极轴平行的直线 题型一：平面直角坐标系中的伸缩变换 例1：在平面直角坐标系中，已知伸缩变换中：x'=3x,2y'=y.) (1)求点A八a\vs4\al\col(f(13),一2)经过中变换所得点A'的坐标； (2)求直线1：y=6x经过中变换后所得直线1'的方程. 变式训练1：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x'=2xy'=2y)后，曲线C变为曲 线(x一5)2+(y'+6)2=1,求曲线C的方程，并判断其形状. 例2：将下列点的坐标进行极坐标与直角坐标的互化（其中p>0,0≤0<2r) (1)(4,23)；(2)(-3,-1). 变式训练2：将下列点的坐标进行极坐标与直角坐标的互化（其中p>0,0≤0<2π） (1)(2,-3)； (2)(6,-2). 题型三：极坐标方程与直角坐标方程的互化 例3：已知椭圆C的极坐标方程为p2=123cos29+4si20,点F:、F2为其左、右焦点， 直线1的极坐标方程为psin9=pcos6一2.求： (1)直线1和曲线C的普通方程；(2)点F1、F2到直线1的距离之和. 变式迁移3：在极坐标系下，已知圆0：p=co59+sine和直线1：psin(9一π4)= 2)2, (1)求圆0和直线1的直角坐标方程： (2)当0∈(0，卫)时，求直线1与圆0公共点的一个极坐标. 题型四：极坐标方程的应用 例4：在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为pcos6=4. (I)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM·IOP=16,求点P的轨迹C2 的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为avs4alco1(2,fπ3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值. 变式迁移4：在极坐标系中，圆C的圆心Ca\vs4\al\col(6,f(r6),半径r=6. (1)写出圆C的极坐标方程； (2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ:QP=3:2,求动点P的轨迹方程. 题型五：极坐标系下极径P的几何意义的应用 【例5】在直角坐标系xO少中，曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(α为参数)， 以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C,的极坐标方程为 p=2cos0 (1)写出曲线C的极坐标方程和C,的直角坐标方程； (2)设点P在G上，点Q在C,上，且∠PO0-受，求三角形P0面积的最大值 【支式训练5】在直角坐标系xO中，曲线C的极坐标方程为p2=，一2 (o为参数).以坐 1+sin20 标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系AB为C上两点，且OA⊥OB.设射线OA:0=a 其中0<as ,(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求OAOB的最小值 2 三.方法规律总结 1.在平面直角坐标系中，改变x轴或y轴的单位长度会对图形产生影响 2.一