第35讲 参数方程讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第35讲参数方程 一.基础知识回顾 1.曲线的参数方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是 某个变数1的函数 并且对于1取的每一个允许值，由方程组所确定的点P,y)都在 这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数叫作 参变数，简称参数」 2.参数方程和普通方程的互化：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般 地，可以 从参数方程得到普通方程，相对于参数方程，我们把直接用坐标(x, y)表示的曲线方程x,y)=0叫作曲线的普通方程. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y一%=tano(c-xo) 圆 (x-a)2+(y-b)2=2 椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 抛物线 y2=2px(p>0) 二.典例精析 题型一：参数方程与普通方程的互化 例1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线： (1)x=1+t2,y=2+t)(t为参数)：(2)x=t+{f(1t1t)-t(t为参数)：(3)x=4sin6,y =5cos0)(0为参数). 变式训练1：将下列参数方程化为普通方程. (1)x=f(3k1+k26k21+k2)(k为参数)：(2)x=1-sin20,y=sin0+cos8)(0为 参数)： 题型二：直线参数方程的应用 例2：已知直线1经过点P(1,1),倾斜角a=r6. (1)写出直线1的参数方程： (2)设1与圆x2十y2=4相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积. 变式训练2：过点P八a\vs4\al\col(f(r(10)2),0)作倾斜角为a的直线与曲线x2+2y2=1 交于点M、N,求PM·|PN的最小值及相应的a的值. 题型三：参数方程的应用 例3：已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点. (1)求2x+y的取值范围；(2)若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围. 变式训练3：在直角坐标系x0y中，直线1的方程为x一y十4=0，曲线C的参数方程为x r(3)cosa,y=sina)(a为参数). (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半 轴为极轴)中，点P的极坐标为a\vs4al\col(4,\f(π2)，判断点P与直线1的位置关系； (2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值. 题型四：极坐标、参数方程综合应用 例4：在直角坐标系x0y中，直线1的参数方程为x=3-f(r(225)+1f(r(22)t(t为参 数).在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴 为极轴)中，圆C的方程为p=25sin0. (1)求圆C的直角坐标方程： (2)设圆C与直线1交于点A,B.若点P的坐标为(3,5)，求PA+|PB. 变式训练4：已知曲线C1的参数方程为x=4+5cost,y=5+5sint)(t为参数)，以坐标 原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2si9. (1)把C的参数方程化为极坐标方程：(2)求C1与C2交点的极坐标(p≥0,0≤0 <2r). 三.方法规律总结 1.消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参 数；（②）利用三角恒等式消去参数：(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法 从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或 缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数)和（©的值域，即x和y的取值范围. 2.将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解：确定曲线的参数方 程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多 余的解 3.已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问趣时，一般是把参数方程化为普通方程，通过 互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等. 四.课后练习作业 1.已知曲线C:x=4cos中，y=3sin中)(o为参数). (1)将C的方程化为普通方程： (②)若点P,y)是曲线C上的动点，求2x十y的取值范围. 2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x=4cos0,y=4s1n8)(0为参数)，直 线1经过点P(22),倾斜角a=13. (1)写出圆的标准方程和直线1的参数方程： (2)设I与圆C相交于A、B两点，求PAPB的值. 3.已知经过A(5,一3)且倾斜角的余弦值是-35的直线与圆x2+y2=25交于B,C两点. (I)求BC的中点坐标： (2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标. 4.极坐标系的极点为直角坐标系Oy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标