2023年中考备考专题讲义：函数应用题模型—建立函数模型解决实际问题 数学解题模型与方法

应用题模型一建立函数模型解决实际问题数学解题模型与方法 命题人：中学升学考试与预测组 【解题模型与方法】 1、解决函数应用问题的基本思路方法 从终极目标量开始，建立与之相关的等量关系，可能会引出新的目标量，此时又 以建立与新目标量相关的等量关系，，，·，，如此不断建立与新目标量相关的等量关系， 直至最后一个等量关系中出现的量均为题设中的已知量与所设出的量为止.按照此法， 通过不断的寻求该目标量的等量关系，可以逐步把题目中的各种信息、条件融合在目标 量之下，进而将题目所涉及的量的关系程序化，从而构建数学模型，达到解决问题的目 的。 2、用函数构建数学模型解决实际问题的步骤 (1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析： (2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系： (3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型： (4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题 化归为数学问题： (⑤)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型： (6)检验模型：利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的 【典型例题】 例题1.如图，在Rt△4BC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米.两个动点P,Q分别从A, C两点同时按顺时针方向沿△4BC的边运动.当点Q运动到点A时，P,Q两点运动即停止，点 P,Q的运动速度分别为1厘米秒、2厘米/秒，设点P运动的时间为1（秒）.记线段PQ与从点 P按顺时针方向沿△ABC的边到点Q的折线段所围成的图形的面积为S(平方厘米). (1)用含t的代数式表示PC的长： (2)当点P,Q运动时，求S与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围： (3)点P,Q在运动的过程中，S有最大值吗？若有，请求出最大值：若没有，请说明理由。 B 解：(1)，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，CB=4厘米， ∴AB=5厘米. :(4+5)÷2=9秒. :P运动的最大距离为号×1=号厘米， 2 ∴.当点P在AC边上运动时，PC=3-t: 当点P在CB边上运动时，PC=t-3. (2)当0<1≤2时，点P在AC边上，点Q在CB边上，如图所示， B :AC=3,BC=4,AB=5,点P,Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒， ∴.AP=1,CP=3-t,CQ=2t ,∠C=90°， 以P,C,Q三点为顶点的三角形是直角三角形. s=SAPC-Pc0-号3-D×2r·43 当2<1≤3时，点P在AC边上，点Q在AB边上，如图所示， A D Q B AC=3,BC=4,AB=5,点P,Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒， ∴.AP=t,AQ=9-2, ∴.线段PO与从点P按顺时针方向沿△ABC的边到点Q的折线段所围成的图形为四边形PCBO 此时S=S△CAB-S△APO:过点P作PD⊥AQ于D. ∠A=∠A,∠ADP=∠ACB .△ADP∽△ACB 畏侣即婴音解得m BC AB 4污 a4w0p09-2)×号t=2 5t, ∴.S=SACAB-SANPO= ×3x4（2+)=(2+)2- 5t+6. 当3<t号时，点P在CB边上，点Q在B边上，如图所示 E 由题知，AC=3,BC=4,AB=5,CP=t-3,BP=7-t,BQ=2t-4, ∴.线段PQ与从点P按顺时针方向沿△4BC的边到点Q的折线段所围成的图形为三角形PQB. 此时，S=S△OPB,过点P作PE⊥QB于E. ∠B=∠B,∠BEP=∠BCA, ∴.△BEP∽△BCA, 盟照，即巴7± AC AB 3 5 解得PE=21-3t 5 s=a0m0e号e-4)x21g号2号t号 -t2+3t(0<t2) 综上，S= 鲁2-是t62<<3) 是2号<) （3由2)知，当0<2时，S-t23t-(t号)2+是 当t号时，8有最大值为是 当2×13时，8号29 5t+6s 9)239 +20 “浩>0，当t>号时，函数值8随自变量：的增大面蜡大 51 六当=3时，S有最大值为。 5 当K<号时s2号号 9)215 4 当飞号5有经大值为要 综上，当飞号时，5有经大植为 4 常考经典试题同步检测 考试范围：应用题；考试时间：100分钟： 一.选择题（共8小题） 1.小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压=电流强度×电流通过的电阻.己知某滑动 变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为102时，测得通过该变阻器的电流为244，则通过 该滑动变阻器的电流I(单位：A)与电阻R(单位：)之间的函数关系图象大致是() I/A个 IIA↑ 24 24 A 010 R/ R/O 24 24 C 10 R/Q D 10 R/O 2.研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反