2023年第十八届中国北方数学奥林匹克试题

第十八届中国北方数学奥林匹克(2023.8.10) 第十八届中国北方数学奥林匹克(2023.8.10) 解答题（共6题，每题40分，满分240分） L.如图，AB为圆O的直径，弦AC、BD交于点 E,EF⊥AB于点F,FC交BD于点G,点M在AB B 上满足MD=MG.证明：F、M、D、G四点共圆. M F O 2.设a,b,ce(0,1),且ab+bc+ca=4abc,求证： √a+b+c≥-a+-b+-c. 3.求方程sinπ√F+cosπF=(-)同的全部解 4.已知数列{an}满足1=a1<a2<…<an,如果存在实数m,使得 am-a ≤m对任意正整数n(n≥2)成立，求m的最小值. N(2+a)月 5.已知一个有限图G,设G为图G中三角形的个数，g(G为图G中的边数， 求最小的常数c,使得对于每个图G,均有f2(G)Scg(G). 6.如果正整数m满足：存在正整数n使得m=n2+n+1,则m称为优美整数， 证明：存在无穷多个优美整数存在平方因子，且不同的优美整数的平方因子两两 互质。 1