2023年第十八届中国北方数学邀请赛试题

第十八届中国北方数学邀请赛(2023.8.9) 一填空题（本大题共8小题，每题8分，满分64分） 1.集合M={1,2,3,4,5)的所有子集的元素的和等于 2.己知点H是△ABC的垂心，且满足H☑+2HB+6HC=0,则tanB=一。 3.已知x,y∈R,满足2x2+3y2≤18，则f(x,y)=lx+2y的最大值为 4.有限个元素的复数集A至少含有三个元素，且满足：对任意的z1,Z2∈ A(Z1卡22)，都有Z1·22∈A,Z1+Z2EA,满足条件的集合有 个 5.己知函数f(x)=x+2+3x-4.若对任意实数x,都有 /(x203+)-f(x0)≤4，则实数1的取值范围为 6.已知体积为3的正三棱锥P-ABC,底面ABC为正三角形，则异面直线PA 与BC的距离的最大值为 7.已知非负实数a,b,c满足a+b+c=3,则a2+b2+c2+bc的取值范围 为 8.设两个正整数数列{a},b}满足a7=b,<2023,且对任意的正整数n,有 a+2=ant+an,bn1=3b.,则这样的数列有 个 二解答题（本大题共3小题，分别为16分、20、20分，满分54分） 9给定双曲线C: =1(a>0,b>0),过点B0,)的直线交双曲线C 于P,Q两点.试问：双曲线C上是否存在定点A,使得直线AP与AQ的斜率之 和为定值？若存在，求出定点A的坐标：若不存在，请说明理由. 10.已知数列a满足a=号4风-a4-2a,+12=0aeN), (1)求数列{a}的通项公式： 1 n+0,求使b]+[b]+b]+…+[b】≤2023成立的最大正整数 (2)记6= n的值.（其中，符号[x]表示不超过x的最大整数）， 11.在非直角△ABC中，sinA=2 sin Bsin C,求cos2B-sin2C的取值范围. 2 第十八届中国北方数学邀请赛(2023.8.9) 解答题（共4小题，分别为40、40、50、50分，满分180分） L.如图，已知△ABC的内切圆⊙I分别与边BC、AC、AB切于点D、E、F,直 线EF分别与BL、CI的延长线交于点P、Q,若M为边BC的中点，证明：P、 Q、D、M四点共圆. E 2.给定n∈N,n22,求最大正数元，使得对任意一组实数a,a,a,∈0，l存在实 数0≤y≤，≤≤x满足∑x=1且k-a2元 3.平面上给定刀个点，任何三点不共线，每两个点之间连一条线段，用红、黄、 蓝三种颜色将线段染色，每条线段染为一种颜色，如果不存在同色三角形，确定 n的最大值. 4.设p是大于5的素数，且p丰1(mod5),求证： Π识=1(1+n+n2+n3+n)三5(modp).